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数学3 定積分・面積問題 273 解説

方針・初手

(1) は定積分における有名な性質（いわゆる King Property の一部）を示す問題です。積分区間が $[0, \pi]$ であり、被積分関数に $f(\sin x)$ が含まれていることから、$x = \pi - t$ の置換積分を行うのが定石です。 (2) は (1) の結果を直接利用して定積分を計算します。 (3) は $e^x (f(x) + f'(x))$ という特徴的な形に着目します。積の微分法の公式を逆向きに用いるか、部分積分を用いることで示せます。 (4) は (3) を利用するために、被積分関数の $e^x$ 以外の部分を $g(x) + g'(x)$ の形に変形することを目標とします。半角の公式や倍角の公式を用いて三角関数の式を整理します。

解法1

(1)

$$I = \int_0^\pi x f(\sin x) dx$$

とおく。$x = \pi - t$ と置換すると、$dx = -dt$ であり、積分区間の対応は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \to & \pi \\ \hline t & \pi & \to & 0 \end{array}$$

また、$\sin x = \sin(\pi - t) = \sin t$ である。したがって、

$$\begin{aligned} I &= \int_\pi^0 (\pi - t) f(\sin t) (-dt) \\ &= \int_0^\pi (\pi - t) f(\sin t) dt \\ &= \pi \int_0^\pi f(\sin t) dt - \int_0^\pi t f(\sin t) dt \end{aligned}$$

ここで、右辺第2項は定積分の性質より $\int_0^\pi x f(\sin x) dx = I$ と書き換えられるので、

$$I = \pi \int_0^\pi f(\sin x) dx - I$$

$$2I = \pi \int_0^\pi f(\sin x) dx$$

$$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) dx$$

となる。よって、求める定数 $A$ は

$$A = \frac{\pi}{2}$$

(2)

(1) の結果において、$f(\sin x) = \frac{\sin x}{8 + \sin^2 x}$ とすると、

$$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{8 + \sin^2 x} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{8 + \sin^2 x} dx$$

が成り立つ。右辺の定積分を計算する。分母を $\cos x$ の式に変形すると、

$$\frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{8 + (1 - \cos^2 x)} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{9 - \cos^2 x} dx$$

ここで、$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ であり、積分区間は $x=0 \to \pi$ のとき $u=1 \to -1$ となる。

$$\begin{aligned} \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{9 - \cos^2 x} dx &= \frac{\pi}{2} \int_1^{-1} \frac{1}{9 - u^2} (-du) \\ &= \frac{\pi}{2} \int_{-1}^1 \frac{1}{9 - u^2} du \end{aligned}$$

被積分関数は偶関数であるから、

$$\begin{aligned} \frac{\pi}{2} \cdot 2 \int_0^1 \frac{1}{9 - u^2} du &= \pi \int_0^1 \frac{1}{(3 - u)(3 + u)} du \\ &= \pi \int_0^1 \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3 + u} + \frac{1}{3 - u} \right) du \\ &= \frac{\pi}{6} \left[ \log|3 + u| - \log|3 - u| \right]_0^1 \\ &= \frac{\pi}{6} \left[ \log \left| \frac{3 + u}{3 - u} \right| \right]_0^1 \\ &= \frac{\pi}{6} \left( \log \frac{4}{2} - \log \frac{3}{3} \right) \\ &= \frac{\pi}{6} \log 2 \end{aligned}$$

(3)

積の導関数 $(e^x f(x))'$ を計算すると、

$$\begin{aligned} (e^x f(x))' &= (e^x)' f(x) + e^x f'(x) \\ &= e^x f(x) + e^x f'(x) \\ &= e^x (f(x) + f'(x)) \end{aligned}$$

となる。したがって、微分の逆演算（不定積分の定義）より、

$$\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$$

が成り立つ（$C$ は積分定数）。

(4)

被積分関数の $e^x$ 以外の部分について考える。

$$1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$$

積分区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ においては、$\sin x \geqq 0, \cos x > 0$ であるため、$\sin x + \cos x > 0$ となる。よって、

$$\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = \sin x + \cos x$$

また、半角の公式より $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ である。これらを用いて式を変形すると、

$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{1 + \sin 2x}}{1 + \cos 2x} &= \frac{\sin x + \cos x}{2 \cos^2 x} \\ &= \frac{\sin x}{2 \cos^2 x} + \frac{\cos x}{2 \cos^2 x} \\ &= \frac{\sin x}{2 \cos^2 x} + \frac{1}{2 \cos x} \end{aligned}$$

ここで、$g(x) = \frac{1}{2 \cos x}$ とおくと、

$$g'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{-\sin x}{\cos^2 x} \right) = \frac{\sin x}{2 \cos^2 x}$$

となるため、与えられた定積分は以下のように書ける。

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} e^x (g'(x) + g(x)) dx$$

(3) の結果を利用すると、この定積分は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{4}} e^x (g(x) + g'(x)) dx &= \left[ e^x g(x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \left[ e^x \frac{1}{2 \cos x} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= e^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2 \cos \frac{\pi}{4}} - e^0 \frac{1}{2 \cos 0} \\ &= e^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} - 1 \cdot \frac{1}{2 \cdot 1} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{2} \end{aligned}$$