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数学3 定積分・面積問題 280 解説

方針・初手

媒介変数表示で与えられた曲線の問題の定石通り、$x$ と $y$ をそれぞれパラメータ $t$ で微分し、増減表を作成して曲線の概形を捉える。 (1) で各導関数が $0$ となる $t$ を求め、(2) でそれをまとめた増減表から概形を描く準備をする。(3) では、(2) で把握したグラフの上下関係と $x$ 軸との交点に注意して積分区間を定め、置換積分を用いて面積を計算する。

解法1

(1)

$x = \sin t$ より、$t$ で微分すると

$$\frac{dx}{dt} = \cos t$$

$0 \leqq t \leqq \pi$ において、$\frac{dx}{dt} = 0$ となるのは

$$t = \frac{\pi}{2}$$

$y = \cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) \sin t$ より、積の微分法と加法定理を用いると

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= -\sin\left(t - \frac{\pi}{6}\right) \sin t + \cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) \cos t \\ &= \cos\left\{\left(t - \frac{\pi}{6}\right) + t\right\} \\ &= \cos\left(2t - \frac{\pi}{6}\right) \end{aligned}$$

$0 \leqq t \leqq \pi$ より $-\frac{\pi}{6} \leqq 2t - \frac{\pi}{6} \leqq \frac{11\pi}{6}$ であるから、$\frac{dy}{dt} = 0$ となるのは

$$2t - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$$

これらを解いて

$$t = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}$$

(2)

曲線の概形を描くために、$y = 0$ となる $t$ の値を求めておく。 $y = \cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) \sin t = 0$ より

$$\cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = 0 \quad \text{または} \quad \sin t = 0$$

$0 \leqq t \leqq \pi$ （すなわち $-\frac{\pi}{6} \leqq t - \frac{\pi}{6} \leqq \frac{5\pi}{6}$）より、これを満たす $t$ は

$$t = 0, \frac{2\pi}{3}, \pi$$

(1) の結果とあわせて、増減表は以下のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\frac{2\pi}{3}$	$\cdots$	$\frac{5\pi}{6}$	$\cdots$	$\pi$
$\frac{dx}{dt}$	$+$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$x$	$0$	$\nearrow$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\searrow$	$\frac{1}{2}$	$\searrow$	$0$
$\frac{dy}{dt}$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$
$y$	$0$	$\nearrow$	$\frac{3}{4}$	$\searrow$	$\frac{1}{2}$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-\frac{1}{4}$	$\nearrow$	$0$

表より、曲線 $C$ は原点 $(0,0)$ を出発して第1象限に上がり、$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{4})$ で $y$ 座標が最大となる。その後 $(1, \frac{1}{2})$ で $x$ 座標が最大となって折り返し、$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ で $x$ 軸と交わる。さらに第4象限に入り、$(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$ で $y$ 座標が最小となったのち、原点 $(0,0)$ に戻る。これを $xy$ 平面上に滑らかな曲線として描く。

(3)

増減表より、曲線 $C$ のうち $y \leqq 0$ となる部分は $\frac{2\pi}{3} \leqq t \leqq \pi$ に対応する。この区間において、$x$ は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ から $0$ へ単調に減少する。求める面積を $S$ とすると、$y \leqq 0$ であることから

$$S = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (0 - y) dx = - \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} y dx$$

$x = \sin t$ と置換する。$dx = \cos t dt$ であり、$x$ の積分区間 $0 \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}$ に対応する $t$ は $\pi \rightarrow \frac{2\pi}{3}$ であるから

$$S = - \int_{\pi}^{\frac{2\pi}{3}} y \cos t dt = \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} y \cos t dt$$

ここで、加法定理を用いて被積分関数の $y$ を展開すると

$$\begin{aligned} y \cos t &= \cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) \sin t \cos t \\ &= \left( \cos t \cos\frac{\pi}{6} + \sin t \sin\frac{\pi}{6} \right) \sin t \cos t \\ &= \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos t + \frac{1}{2} \sin t \right) \sin t \cos t \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \sin t \cos^2 t + \frac{1}{2} \sin^2 t \cos t \end{aligned}$$

したがって、積分は以下のように計算できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin t \cos^2 t + \frac{1}{2} \sin^2 t \cos t \right) dt \\ &= \left[ - \frac{\sqrt{3}}{6} \cos^3 t + \frac{1}{6} \sin^3 t \right]_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \\ &= \left\{ - \frac{\sqrt{3}}{6} (-1)^3 + 0 \right\} - \left\{ - \frac{\sqrt{3}}{6} \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{6} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \right\} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} - \left( \frac{\sqrt{3}}{48} + \frac{3\sqrt{3}}{48} \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{4\sqrt{3}}{48} \\ &= \frac{2\sqrt{3}}{12} - \frac{\sqrt{3}}{12} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{12} \end{aligned}$$

解説

媒介変数表示の微分と積分の基本事項を問う問題である。 (1) での $y$ の微分は、そのまま積の微分公式を用いると項が多くなるが、最後に加法定理の逆を用いることで $\cos(2t - \frac{\pi}{6})$ と非常に簡潔な形にまとまる。あるいは、最初から $y = \frac{1}{2}\left\{ \sin(2t - \frac{\pi}{6}) + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right\}$ と積和の公式を用いて展開してから微分しても計算量を抑えられる。 (3) の面積計算では、定積分の置換積分において積分区間の対応を正しく取ることが重要である。グラフが左向きに進む軌跡であるため、$dt$ に変換した際の積分の上端・下端に注意したい。