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数学3 定積分・面積問題 279 解説

方針・初手

(1)は、一見複雑な不等式に見えるが、中辺に含まれる和の部分 $\sum$ が等比数列の和であることに着目する。これを計算して中辺をシンプルな分数式に整理してから、左辺と右辺のそれぞれについて差をとって符号を調べる。

(2)は、$a_n$ の形と(1)の等比数列の和の形が似ていることから、等比数列の和を定積分することで $a_n$ を作り出す定石を用いる。そのうえで(1)で示した不等式を積分し、はさみうちの原理を利用して極限を求める。

解法1

(1)

不等式の中辺に含まれる和の式は、初項 $1$、公比 $-x$、項数 $n$ の等比数列の和として表せる。 $0 \leqq x \leqq 1$ であるから $-x \neq 1$ であり、和の公式を用いて次のように計算できる。

$$1 + \sum_{k=2}^{n} (-x)^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} (-x)^{k-1} = \frac{1 - (-x)^n}{1 - (-x)} = \frac{1 - (-x)^n}{x+1}$$

これを中辺の式に代入して整理する。

$$\begin{aligned} (-1)^n \left\{ \frac{1}{x+1} - \left( 1 + \sum_{k=2}^{n} (-x)^{k-1} \right) \right\} &= (-1)^n \left\{ \frac{1}{x+1} - \frac{1 - (-x)^n}{x+1} \right\} \\ &= (-1)^n \cdot \frac{(-x)^n}{x+1} \\ &= \frac{(-1)^{2n} x^n}{x+1} \\ &= \frac{x^n}{x+1} \end{aligned}$$

これにより、示すべき不等式は $0 \leqq x \leqq 1$ において

$$\frac{1}{2}x^n \leqq \frac{x^n}{x+1} \leqq x^n - \frac{1}{2}x^{n+1}$$

が成り立つことと同値になる。これを2つの不等式に分けて証明する。

前半の不等式（左辺 $\leqq$ 中辺）について、差をとると

$$\frac{x^n}{x+1} - \frac{1}{2}x^n = \frac{2x^n - x^n(x+1)}{2(x+1)} = \frac{x^n(1-x)}{2(x+1)}$$

となる。$0 \leqq x \leqq 1$ より $x^n \geqq 0$, $1-x \geqq 0$, $x+1 > 0$ であるから、$\frac{x^n(1-x)}{2(x+1)} \geqq 0$ であり、

$$\frac{1}{2}x^n \leqq \frac{x^n}{x+1}$$

が成り立つ。

後半の不等式（中辺 $\leqq$ 右辺）について、同様に差をとると

$$\left( x^n - \frac{1}{2}x^{n+1} \right) - \frac{x^n}{x+1} = x^n \left( 1 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{x+1} \right) = x^n \cdot \frac{2(x+1) - x(x+1) - 2}{2(x+1)} = x^n \cdot \frac{x - x^2}{2(x+1)} = \frac{x^{n+1}(1-x)}{2(x+1)}$$

となる。$0 \leqq x \leqq 1$ より $x^{n+1} \geqq 0$, $1-x \geqq 0$, $x+1 > 0$ であるから、$\frac{x^{n+1}(1-x)}{2(x+1)} \geqq 0$ であり、

$$\frac{x^n}{x+1} \leqq x^n - \frac{1}{2}x^{n+1}$$

が成り立つ。以上より、題意の不等式は示された。

(2)

(1)の計算より、以下の等式が成り立つ。

$$\sum_{k=1}^{n} (-x)^{k-1} = \frac{1}{x+1} - \frac{(-x)^n}{x+1}$$

この両辺を $x$ について $0$ から $1$ まで定積分する。左辺は

$$\int_0^1 \sum_{k=1}^{n} (-x)^{k-1} dx = \sum_{k=1}^{n} \int_0^1 (-1)^{k-1} x^{k-1} dx = \sum_{k=1}^{n} \left[ \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k \right]_0^1 = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = a_n$$

となる。一方、右辺は

$$\int_0^1 \left( \frac{1}{x+1} - \frac{(-1)^n x^n}{x+1} \right) dx = \left[ \log(x+1) \right]_0^1 - (-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx = \log 2 - (-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx$$

となる。これらが等しいので、

$$a_n = \log 2 - (-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx$$

が成り立つ。これを変形すると

$$a_n - \log 2 = -(-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx$$

となり、極限を求める式は次のように書き直せる。

$$(-1)^n n (a_n - \log 2) = (-1)^n n \left\{ -(-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \right\} = -(-1)^{2n} n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx = -n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx$$

次に、(1)で示した不等式の各辺を $0$ から $1$ まで定積分すると、大小関係は保たれるので

$$\int_0^1 \frac{1}{2}x^n dx \leqq \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \leqq \int_0^1 \left( x^n - \frac{1}{2}x^{n+1} \right) dx$$

となる。両端の定積分を計算する。

$$\int_0^1 \frac{1}{2}x^n dx = \left[ \frac{1}{2(n+1)} x^{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{2(n+1)}$$

$$\int_0^1 \left( x^n - \frac{1}{2}x^{n+1} \right) dx = \left[ \frac{1}{n+1} x^{n+1} - \frac{1}{2(n+2)} x^{n+2} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2(n+2)}$$

したがって、

$$\frac{1}{2(n+1)} \leqq \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \leqq \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2(n+2)}$$

が得られる。この不等式の各辺に $-n$ を掛ける。$n \geqq 2$ より $-n < 0$ であるため、不等号の向きが反転し、

$$-\frac{n}{n+1} + \frac{n}{2(n+2)} \leqq -n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \leqq -\frac{n}{2(n+1)}$$

となる。ここで、$n \to \infty$ のときの左辺と右辺の極限を求めると、

$$\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{n}{n+1} + \frac{n}{2(n+2)} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( -\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \frac{1}{2\left(1 + \frac{2}{n}\right)} \right) = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$$

$$\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{n}{2(n+1)} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( -\frac{1}{2\left(1 + \frac{1}{n}\right)} \right) = -\frac{1}{2}$$

となる。両端の極限が一致するため、はさみうちの原理より

$$\lim_{n \to \infty} \left( -n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \right) = -\frac{1}{2}$$

である。

解説

「メルカトル級数」として知られる $\log 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots$ の収束の速さを評価する問題である。

数列の一般項 $a_n$ に分母が $k$ の項が含まれている場合、等比数列の和を定積分して $a_n$ と等しい式を作り出す手技は頻出である。(1)の不等式から作られた定積分は、極限を求める際に「はさみうちの原理」を利用するための準備となっており、誘導に従って式変形を進めれば見通しよく解くことができる。