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数学3 定積分・面積問題 282 解説

方針・初手

(1) 与えられた関数 $f(x)$ を微分し、$e^x = X$ とおいて $f'(x)=0$ が正の異なる2つの実数解をもつ条件を考える。 (2) 解と係数の関係を用いて対称式を処理し、次数下げの工夫を行うと計算量が減る。 (3) (2)の式を微分や平方完成などで最小化するのではなく、$s$ の関数となっていることに着目し、$s$ の取りうる値の範囲から最小値を求める。 (4) 求まった $s$ の値から実際の $x_1, x_2$ を計算し、定積分を実行する。

解法1

(1) $f(x) = e^{2x} + 10s e \cdot e^x + 2e^2 x$ より、$x$ で微分すると

$$f'(x) = 2e^{2x} + 10se \cdot e^x + 2e^2 = 2(e^{2x} + 5se \cdot e^x + e^2)$$

$f(x)$ が極大値と極小値をただ1つずつもつための条件は、$f'(x)=0$ が異なる2つの実数解をもち、その前後で $f'(x)$ の符号が変化することである。ここで、$X = e^x$ とおくと、$X > 0$ であり、$f'(x) = 2(X^2 + 5se X + e^2)$ となる。 $g(X) = X^2 + 5se X + e^2$ とおくと、条件は $X$ についての2次方程式 $g(X) = 0$ が $X > 0$ の範囲に異なる2つの実数解をもつことである。 $y = g(X)$ のグラフは下に凸の放物線なので、条件は以下の3つをすべて満たすことである。・判別式 $D > 0$ ・軸の位置 $X > 0$ ・$g(0) > 0$

判別式を $D$ とすると

$$D = (5se)^2 - 4e^2 = e^2(25s^2 - 4) > 0$$

$e^2 > 0$ より $25s^2 - 4 > 0$、よって $s < -\frac{2}{5}, \frac{2}{5} < s$

軸の方程式は $X = -\frac{5se}{2}$ なので、$-\frac{5se}{2} > 0$ より $s < 0$

$g(0) = e^2 > 0$ は常に成り立つ。

以上より、共通範囲は $s < -\frac{2}{5}$ である。 $s = \frac{t}{t^2+4t+9}$ であるから

$$\frac{t}{t^2+4t+9} < -\frac{2}{5}$$

$t^2+4t+9 = (t+2)^2+5 > 0$ より、両辺に正の数 $5(t^2+4t+9)$ を掛けて整理する。

$$5t < -2(t^2+4t+9)$$

$$2t^2+13t+18 < 0$$

$$(2t+9)(t+2) < 0$$

したがって、$-\frac{9}{2} < t < -2$

(2) $f'(x) = 0$ の2つの解が $x_1, x_2$ であり、$g(X)$ のグラフは下に凸の放物線であるため、$X = e^x$ が小さい方で $f'(x)$ は正から負（極大）に、大きい方で負から正（極小）に変わる。したがって、$X_1 = e^{x_1}, X_2 = e^{x_2}$ とおくと、$X_1, X_2$ は $g(X)=0$ の2解となる。解と係数の関係より

$$X_1 + X_2 = -5se$$

$$X_1 X_2 = e^2$$

また、$e^{x_1+x_2} = X_1 X_2 = e^2$ より $x_1+x_2 = 2$ である。次に、$f(x_1), f(x_2)$ を求める。 $g(X_1) = 0$ より $X_1^2 = -5se X_1 - e^2$ であるから

$$\begin{aligned} f(x_1) &= X_1^2 + 10se X_1 + 2e^2 x_1 \\ &= (-5se X_1 - e^2) + 10se X_1 + 2e^2 x_1 \\ &= 5se X_1 - e^2 + 2e^2 x_1 \end{aligned}$$

同様にして、$f(x_2) = 5se X_2 - e^2 + 2e^2 x_2$ となる。したがって

$$\begin{aligned} L &= f(x_1) + f(x_2) \\ &= 5se (X_1 + X_2) - 2e^2 + 2e^2 (x_1 + x_2) \\ &= 5se (-5se) - 2e^2 + 2e^2 \cdot 2 \\ &= -25s^2 e^2 + 2e^2 \\ &= e^2(2 - 25s^2) \end{aligned}$$

(3) (2)より $L = e^2(2 - 25s^2)$ であり、(1)より $s < -\frac{2}{5}$ である。 $L$ が最小となるのは、$s^2$ が最大のとき、すなわち負の数 $s$ が最小となるときである。 $s(t) = \frac{t}{t^2+4t+9}$ とし、$t$ で微分する。

$$\begin{aligned} s'(t) &= \frac{1 \cdot (t^2+4t+9) - t(2t+4)}{(t^2+4t+9)^2} \\ &= \frac{-t^2+9}{(t^2+4t+9)^2} \\ &= \frac{-(t-3)(t+3)}{(t^2+4t+9)^2} \end{aligned}$$

(1)より $-\frac{9}{2} < t < -2$ の範囲で増減を調べると、$s'(t) = 0$ となるのは $t = -3$ のみである。この範囲において $t < -3$ のとき $s'(t) < 0$、$t > -3$ のとき $s'(t) > 0$ となるため、$s(t)$ は $t = -3$ で極小かつ最小となる。このとき

$$s(-3) = \frac{-3}{(-3)^2+4(-3)+9} = -\frac{1}{2}$$

このとき $L$ は最小となり、その最小値は

$$L = e^2 \left(2 - 25 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right) = e^2 \left(2 - \frac{25}{4} \right) = -\frac{17}{4}e^2$$

(4) $t=-3$ のとき $s=-\frac{1}{2}$ である。このとき $g(X) = X^2 - \frac{5}{2}eX + e^2 = 0$ となる。両辺を2倍して整理すると

$$2X^2 - 5eX + 2e^2 = 0$$

$$(2X - e)(X - 2e) = 0$$

したがって、$X = \frac{1}{2}e, 2e$ を得る。 $x_1 < x_2$ より $X_1 < X_2$ であるから、$X_1 = \frac{1}{2}e, X_2 = 2e$

$$e^{x_1} = \frac{1}{2}e \iff x_1 = 1 - \log 2$$

$$e^{x_2} = 2e \iff x_2 = 1 + \log 2$$

積分 $I$ を計算する。$s=-\frac{1}{2}$ のとき $f(x) = e^{2x} - 5e^{x+1} + 2e^2 x$ であるから

$$\begin{aligned} I &= \int_{x_1}^{x_2} (e^{2x} - 5e^{x+1} + 2e^2 x) dx \\ &= \left[ \frac{1}{2}e^{2x} - 5e^{x+1} + e^2 x^2 \right]_{x_1}^{x_2} \\ &= \frac{1}{2}(e^{2x_2} - e^{2x_1}) - 5e(e^{x_2} - e^{x_1}) + e^2(x_2^2 - x_1^2) \end{aligned}$$

各項を計算する。 $e^{2x_2} - e^{2x_1} = X_2^2 - X_1^2 = (2e)^2 - \left(\frac{1}{2}e\right)^2 = 4e^2 - \frac{1}{4}e^2 = \frac{15}{4}e^2$ $e^{x_2} - e^{x_1} = X_2 - X_1 = 2e - \frac{1}{2}e = \frac{3}{2}e$ $x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$ であり、$x_2 - x_1 = 2\log 2, x_2 + x_1 = 2$ なので $x_2^2 - x_1^2 = 4\log 2$

これらを代入して

$$\begin{aligned} I &= \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}e^2 - 5e \cdot \frac{3}{2}e + e^2 \cdot 4\log 2 \\ &= \frac{15}{8}e^2 - \frac{15}{2}e^2 + 4e^2 \log 2 \\ &= -\frac{45}{8}e^2 + 4e^2 \log 2 \\ &= e^2 \left(4\log 2 - \frac{45}{8}\right) \end{aligned}$$

解説

微積分・方程式の解の配置・積分の総合問題である。 (1) 指数関数を含む方程式の実数解の個数の問題の定石として、$X = e^x$ とおいて2次方程式の解の配置問題（正の解をもつ条件）に帰着させる。 (2) $f(x)$ にそのまま $x_1, x_2$ を代入すると複雑になるため、$f'(x)=0$ の条件（今回は $X^2 + 5seX + e^2 = 0$）を利用して次数下げを行い、解と係数の関係を用いて対称式として処理する工夫が重要である。 (3) (2) で得た式を再度 $t$ の関数と見て最小値を求める。合成関数の最小値は内側の関数の値域を求めてから考えるのが定石である。 (4) (3) で定まったパラメータを用いて、実際に定積分を計算する。無理数と対数が混ざった計算となるが、(2)と同様に $X_1, X_2$ を用いてまとまりごとに計算すると見通しがよい。