数学3 定積分・面積 問題 283 解説

方針・初手

点 $\mathrm{Q}_k$ の $z$ 座標を求め、三角錐 $\mathrm{OP}_k\mathrm{P}_{k+1}\mathrm{Q}_k$ の体積 $V_k$ を $k$ と $n$ の式で表す。その後、区分求積法を用いて極限の計算を定積分に帰着させる。

解法1

点 $\mathrm{Q}_k$ は $z$ 軸上で $z \geqq 0$ の部分にあるため、その座標を $\mathrm{Q}_k(0, 0, z_k)$（$z_k \geqq 0$）とおく。

線分 $\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k$ の長さが $1$ であるから、$\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k^2 = 1$ より、

$$\left( \frac{k}{n} - 0 \right)^2 + \left( 1 - \frac{k}{n} - 0 \right)^2 + (0 - z_k)^2 = 1$$

が成り立つ。これを $z_k$ について解くと、

$$z_k^2 = 1 - \left( \frac{k}{n} \right)^2 - \left( 1 - \frac{k}{n} \right)^2$$

となり、$z_k \geqq 0$ であるから、

$$z_k = \sqrt{1 - \left( \frac{k}{n} \right)^2 - \left( 1 - \frac{k}{n} \right)^2}$$

を得る。

次に、三角錐 $\mathrm{OP}_k\mathrm{P}_{k+1}\mathrm{Q}_k$ の体積 $V_k$ を求める。 $\mathrm{P}_k \left(\frac{k}{n}, 1 - \frac{k}{n}, 0\right)$ と $\mathrm{P}_{k+1} \left(\frac{k+1}{n}, 1 - \frac{k+1}{n}, 0\right)$ はともに $xy$ 平面上にあるため、底面を $\triangle\mathrm{OP}_k\mathrm{P}_{k+1}$ と考える。 $\triangle\mathrm{OP}_k\mathrm{P}_{k+1}$ の面積 $S_k$ は、公式 $S = \frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$ を用いると、

$$\begin{aligned} S_k &= \frac{1}{2} \left| \frac{k}{n} \left(1 - \frac{k+1}{n}\right) - \left(1 - \frac{k}{n}\right) \frac{k+1}{n} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| \left( \frac{k}{n} - \frac{k(k+1)}{n^2} \right) - \left( \frac{k+1}{n} - \frac{k(k+1)}{n^2} \right) \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| -\frac{1}{n} \right| \\ &= \frac{1}{2n} \end{aligned}$$

となる。

頂点 $\mathrm{Q}_k$ は $z$ 軸上にあるため、底面 $\triangle\mathrm{OP}_k\mathrm{P}_{k+1}$ を含む $xy$ 平面に下ろした垂線の長さ（三角錐の高さ）は $\mathrm{Q}_k$ の $z$ 座標である $z_k$ となる。 したがって、三角錐の体積 $V_k$ は、

$$\begin{aligned} V_k &= \frac{1}{3} S_k z_k \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2n} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{k}{n} \right)^2 - \left( 1 - \frac{k}{n} \right)^2} \\ &= \frac{1}{6n} \sqrt{1 - \left( \frac{k}{n} \right)^2 - \left( 1 - \frac{k}{n} \right)^2} \end{aligned}$$

と表される。

これより、求める極限は、

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} V_k = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{6} \sqrt{1 - \left( \frac{k}{n} \right)^2 - \left( 1 - \frac{k}{n} \right)^2}$$

となる。区分求積法を用いると、この極限は以下の定積分で表される。

$$\int_0^1 \frac{1}{6} \sqrt{1 - x^2 - (1-x)^2} \, dx$$

根号の中を整理して平方完成する。

$$\begin{aligned} 1 - x^2 - (1-x)^2 &= 1 - x^2 - (1 - 2x + x^2) \\ &= -2x^2 + 2x \\ &= -2\left(x^2 - x\right) \\ &= -2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

よって、定積分は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \frac{1}{6} \int_0^1 \sqrt{-2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}} \, dx &= \frac{1}{6} \int_0^1 \sqrt{2 \left\{ \frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \right\}} \, dx \\ &= \frac{\sqrt{2}}{6} \int_0^1 \sqrt{ \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 } \, dx \end{aligned}$$

ここで、定積分 $\int_0^1 \sqrt{ \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 } \, dx$ は、$xy$ 平面上の曲線 $y = \sqrt{ \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 }$ と $x$ 軸、および $x=0, x=1$ で囲まれた図形の面積を表す。 この曲線は、中心 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$、半径 $\frac{1}{2}$ の半円を表すため、その面積は、

$$\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{8}$$

となる。

したがって、求める極限値は、

$$\frac{\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}\pi}{48}$$

である。

解説

空間図形の計量と、区分求積法による定積分への帰着を組み合わせた典型的な問題である。 空間座標が与えられているが、$\mathrm{P}_k$ や $\mathrm{P}_{k+1}$ が $xy$ 平面上の点であること、$\mathrm{Q}_k$ が $z$ 軸上の点であるという幾何学的な位置関係を把握すれば、底面積と高さをそれぞれ独立して容易に計算できる。 定積分の計算においては、置換積分を用いてもよいが、平方完成を行うことで「円の面積の一部」に帰着させる手法が最も簡明で計算ミスを防ぎやすい。

答え

$$\frac{\sqrt{2}\pi}{48}$$