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数学3 定積分・面積問題 285 解説

方針・初手

被積分関数に絶対値が含まれているため、まずは絶対値の中身の符号を調べ、積分区間を分割して絶対値を外します。積分区間 $1 \leqq x \leqq e$ における $(\log x)^2 - a^2$ の符号変化を $0 < a < 1$ の条件のもとで考えます。その後は部分積分法を用いて定積分を計算し、得られた $F(a)$ を微分して最小値を求めます。

解法1

(1)

積分区間は $1 \leqq x \leqq e$ であり、このとき $0 \leqq \log x \leqq 1$ である。与えられた条件 $0 < a < 1$ を用いると、$(\log x)^2 - a^2$ の因数分解について以下が成り立つ。

$$(\log x)^2 - a^2 = (\log x - a)(\log x + a)$$

ここで、$\log x \geqq 0$ かつ $a > 0$ であるため常に $\log x + a > 0$ となる。したがって、$(\log x)^2 - a^2$ の符号は $\log x - a$ の符号と一致する。

$$\log x - a \geqq 0 \iff \log x \geqq a \iff x \geqq e^a$$

$0 < a < 1$ より $1 < e^a < e$ であるから、積分区間内で符号が切り替わる。

$$\begin{cases} 1 \leqq x \leqq e^a \text{ のとき } (\log x)^2 - a^2 \leqq 0 \\ e^a \leqq x \leqq e \text{ のとき } (\log x)^2 - a^2 \geqq 0 \end{cases}$$

よって、$F(a)$ の積分区間を $1$ から $e^a$ と $e^a$ から $e$ に分割して絶対値を外す。

$$F(a) = \int_{1}^{e^a} \{ a^2 - (\log x)^2 \} \,dx + \int_{e^a}^{e} \{ (\log x)^2 - a^2 \} \,dx$$

次に、不定積分 $\int (\log x)^2 \,dx$ を部分積分法で求める。

$$\begin{aligned} \int (\log x)^2 \,dx &= \int 1 \cdot (\log x)^2 \,dx \\ &= x(\log x)^2 - \int x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \,dx \\ &= x(\log x)^2 - 2\int \log x \,dx \\ &= x(\log x)^2 - 2(x\log x - x) + C \\ &= x \{ (\log x)^2 - 2\log x + 2 \} + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

この結果を利用して、$F(a)$ を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{1}^{e^a} (\log x)^2 \,dx &= \left[ x \{ (\log x)^2 - 2\log x + 2 \} \right]_1^{e^a} \\ &= e^a(a^2 - 2a + 2) - 1(0 - 0 + 2) \\ &= (a^2 - 2a + 2)e^a - 2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{e^a}^{e} (\log x)^2 \,dx &= \left[ x \{ (\log x)^2 - 2\log x + 2 \} \right]_{e^a}^{e} \\ &= e(1^2 - 2 \cdot 1 + 2) - e^a(a^2 - 2a + 2) \\ &= e - (a^2 - 2a + 2)e^a \end{aligned}$$

これらを $F(a)$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} F(a) &= \left[ a^2 x \right]_1^{e^a} - \int_{1}^{e^a} (\log x)^2 \,dx + \int_{e^a}^{e} (\log x)^2 \,dx - \left[ a^2 x \right]_{e^a}^{e} \\ &= a^2(e^a - 1) - \{ (a^2 - 2a + 2)e^a - 2 \} + \{ e - (a^2 - 2a + 2)e^a \} - a^2(e - e^a) \\ &= a^2 e^a - a^2 - a^2 e^a + 2a e^a - 2e^a + 2 + e - a^2 e^a + 2a e^a - 2e^a - a^2 e + a^2 e^a \\ &= 4a e^a - 4e^a - a^2 - a^2 e + e + 2 \\ &= 4(a-1)e^a - (e+1)a^2 + e + 2 \end{aligned}$$

(2)

(1) で求めた $F(a)$ を $a$ について微分する。

$$\begin{aligned} F'(a) &= 4 \cdot 1 \cdot e^a + 4(a-1)e^a - 2(e+1)a \\ &= 4e^a + 4ae^a - 4e^a - 2(e+1)a \\ &= 4ae^a - 2(e+1)a \\ &= 2a \{ 2e^a - (e+1) \} \end{aligned}$$

$0 < a < 1$ の範囲において $2a > 0$ であるから、$F'(a)$ の符号は $2e^a - (e+1)$ の符号と一致する。 $F'(a) = 0$ となる $a$ の値を求める。

$$2e^a - (e+1) = 0 \iff e^a = \frac{e+1}{2} \iff a = \log \frac{e+1}{2}$$

ここで、底が $e$ であり $1 < \frac{e+1}{2} < e$ であるため、$0 < \log \frac{e+1}{2} < 1$ となり、この解は $0 < a < 1$ の範囲を満たす。 $0 < a < 1$ における $F(a)$ の増減表は次のようになる。

$a$	$(0)$	$\cdots$	$\log \frac{e+1}{2}$	$\cdots$	$(1)$
$F'(a)$		$-$	$0$	$+$
$F(a)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$F(a)$ は $a = \log \frac{e+1}{2}$ のとき最小となる。

解説

絶対値を含む定積分では、積分区間内で中身の符号がどのように変化するかを丁寧に調べるのが鉄則です。本問では変数 $x$ の積分区間と定数 $a$ の関係を正確に把握できるかがポイントです。また、(2)の微分計算において、$F(a)$ の積分表示から直接微分する公式（$f(t)$ を積分した関数に変数を含む上限・下限がある場合の微分）を知っていると、(1) の計算ミスに気付ける検算方法として役立ちます。