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数学3 定積分・面積問題 284 解説

方針・初手

(1)、(2) ともに和の極限を求める問題であり、式の形から区分求積法の利用を第一に考えます。$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right)$ の形を作り出し、定積分に帰着させます。(2) は分母の $n^p$ の次数によって極限の振る舞いが変わるため、区分求積法が適用できる $p=2$ の場合を基準に場合分けを行います。

解法1

(1)

与えられた極限の式を変形し、区分求積法が適用できる形にします。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} \cos \left( \frac{k^2 \pi}{2n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \cos \left( \frac{\pi}{2} \left( \frac{k}{n} \right)^2 \right)$$

区分求積法を用いて定積分で表すと、次のようになります。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \cos \left( \frac{\pi}{2} \left( \frac{k}{n} \right)^2 \right) = \int_{0}^{1} x \cos \left( \frac{\pi}{2} x^2 \right) dx$$

ここで、$t = \frac{\pi}{2} x^2$ とおいて置換積分を行います。 $dt = \pi x dx$ より $x dx = \frac{1}{\pi} dt$ となり、積分区間は $x$ が $0 \to 1$ に変化するとき、$t$ は $0 \to \frac{\pi}{2}$ に変化します。

$$\int_{0}^{1} x \cos \left( \frac{\pi}{2} x^2 \right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\pi} \cos t dt$$

$$= \frac{1}{\pi} \left[ \sin t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= \frac{1}{\pi} (1 - 0) = \frac{1}{\pi}$$

(2)

数列 $\{a_n\}$ は $a_n = \sum_{k=1}^{n} 2k \sin \left( 2\pi \frac{k}{n} \right)$ と表せます。求める極限は $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^p}$ であり、与えられた $p$ は2以上の整数です。

($p=2$ のとき)

極限の式は以下のようになります。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} 2k \sin \left( 2\pi \frac{k}{n} \right)$$

区分求積法が使える形に変形します。

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} 2 \frac{k}{n} \sin \left( 2\pi \frac{k}{n} \right)$$

$$= \int_{0}^{1} 2x \sin (2\pi x) dx$$

この定積分を部分積分法を用いて計算します。

$$\int_{0}^{1} 2x \sin (2\pi x) dx = \int_{0}^{1} 2x \left( -\frac{1}{2\pi} \cos(2\pi x) \right)^{\prime} dx$$

$$= \left[ 2x \left( -\frac{1}{2\pi} \cos(2\pi x) \right) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 \left( -\frac{1}{2\pi} \cos(2\pi x) \right) dx$$

$$= \left( -\frac{1}{\pi} \cos(2\pi) - 0 \right) + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{1} \cos(2\pi x) dx$$

$$= -\frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{2\pi} \sin(2\pi x) \right]_{0}^{1}$$

$$= -\frac{1}{\pi} + 0 = -\frac{1}{\pi}$$

($p \geqq 3$ のとき)

与式を次のように変形します。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^p} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{p-2}} \cdot \frac{a_n}{n^2}$$

$p \geqq 3$ の整数であるため、$p-2 \geqq 1$ となります。したがって、$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n^{p-2}} \to 0$ となります。また、$p=2$ のときの計算結果より、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^2} = -\frac{1}{\pi}$ です。

よって、極限値は以下のようになります。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{p-2}} \cdot \frac{a_n}{n^2} = 0 \cdot \left( -\frac{1}{\pi} \right) = 0$$

以上より、$p$ の値によって極限値が求まりました。

解説

無限級数で表された式の極限を求める、区分求積法の典型的な問題です。式の中から $\frac{1}{n}$ と $\frac{k}{n}$ の塊をいかに抽出するかがポイントとなります。 (2) は $n^p$ で割る形になっていますが、区分求積法が使えるのは $n^2$ で割ったとき（つまり $\frac{k}{n}$ を作るために $n$ が1つ、$\frac{1}{n}$ として前に出すために $n$ が1つ必要なため）であることに気づく必要があります。そこから $p=2$ と $p \geqq 3$ で場合分けするという発想に至るかが鍵でした。