九州大学 2025年 文系 第2問 解説

方針・初手

$AP^2 + BP^2$ のような「2つの定点からの距離の2乗の和」が現れる問題では、図形的な性質（中線定理）、座標設定、ベクトルの利用のいずれのアプローチも有効である。円周という図形の条件を活かしやすい解法を選択して処理を進める。

解法1

線分 $AB$ の中点を $M$ とする。 中線定理より、次の等式が成り立つ。

$$ AP^2 + BP^2 = 2(PM^2 + AM^2) $$

円 $C$ の中心を $O$ とする。弦 $AB$ に対して $OM \perp AB$ である。 $\triangle OAM$ は直角三角形であり、$OA=1$、$AM = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、三平方の定理より $OM$ の長さは次のように求まる。

$$ OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2} $$

$AP^2 + BP^2$ が最大となるのは、$PM$ が最大となるときである。 点 $P$ が円周 $C$ 上を動くとき、線分 $PM$ の長さが最大となるのは、点 $P$、中心 $O$、中点 $M$ がこの順に一直線上に並ぶときである。 このときの $PM$ の長さは、円の半径と $OM$ の和となる。

$$ PM = PO + OM = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

したがって、$AP^2 + BP^2$ の最大値は次のように計算できる。

$$ 2 \left\{ \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \right\} = 2 \left( \frac{9}{4} + \frac{3}{4} \right) = 2 \times 3 = 6 $$

解法2

円 $C$ の中心を原点 $O$ とする座標平面を設定し、円 $C$ の方程式を $x^2 + y^2 = 1$ とする。 弦 $AB = \sqrt{3}$ であり、中心 $O$ から弦 $AB$ までの距離は $\frac{1}{2}$ であるから、点 $A, B$ を $y$ 座標が $-\frac{1}{2}$ の点として設定できる。 対称性を考慮し、$A \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$, $B \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ とおく。 点 $P$ は円 $C$ 上の点であるから、偏角を $\theta$ とすると $P(\cos\theta, \sin\theta)$ と表せる。 このとき、$AP^2$ と $BP^2$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} AP^2 &= \left( \cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \sin\theta + \frac{1}{2} \right)^2 \\ &= \cos^2\theta + \sqrt{3}\cos\theta + \frac{3}{4} + \sin^2\theta + \sin\theta + \frac{1}{4} \\ &= 2 + \sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} BP^2 &= \left( \cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \sin\theta + \frac{1}{2} \right)^2 \\ &= \cos^2\theta - \sqrt{3}\cos\theta + \frac{3}{4} + \sin^2\theta + \sin\theta + \frac{1}{4} \\ &= 2 - \sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta \end{aligned} $$

これらを足し合わせると、次式のようになる。

$$ AP^2 + BP^2 = 4 + 2\sin\theta $$

点 $P$ が円周上を動くとき、$\theta$ は任意の実数値をとるため、$-1 \leqq \sin\theta \leqq 1$ である。 したがって、$AP^2 + BP^2$ が最大となるのは $\sin\theta = 1$ のときであり、その最大値は $4 + 2 \times 1 = 6$ である。

解法3

円 $C$ の中心を $O$ とし、各点の位置ベクトルを $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OP}$ とする。 点 $A, B, P$ は半径 $1$ の円周上にあるため、$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OP}| = 1$ である。 また、$AB = \sqrt{3}$ より $|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}|^2 = 3$ であるから、内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ は次のように求まる。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}|^2 &= |\overrightarrow{OB}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OA}|^2 \\ 3 &= 1 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 1 \\ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} &= -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

次に、求める式をベクトルを用いて変形する。

$$ \begin{aligned} AP^2 + BP^2 &= |\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}|^2 \\ &= 2|\overrightarrow{OP}|^2 - 2\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + |\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2 \\ &= 4 - 2\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) \end{aligned} $$

ここで、$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ の大きさを調べる。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|^2 &= |\overrightarrow{OA}|^2 + 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OB}|^2 \\ &= 1 + 2 \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 \\ &= 1 \end{aligned} $$

よって、$|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = 1$ である。 内積の定義から、$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ のなす角を $\phi$ とすると、次のように表せる。

$$ - 2\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = - 2 |\overrightarrow{OP}| |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| \cos\phi = -2 \cos\phi $$

この値が最大となるのは $\cos\phi = -1$ のとき、すなわち $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ が互いに逆向きとなるときである。 そのときの最大値は $2$ である。 したがって、$AP^2 + BP^2$ の最大値は $4 + 2 = 6$ となる。

解説

図形における距離の2乗の和の最大・最小を求める典型問題である。 中線定理を利用して動点と定点の距離の問題に帰着させる（解法1）、図形の対称性を活かして計算が容易になる座標を設定し三角関数の問題に帰着させる（解法2）、ベクトルを用いて内積の計算に帰着させる（解法3）という、主に3つのアプローチが考えられる。 どのアプローチを選択しても計算量は多くないが、見通しの良さという点で複数の解法をマスターしておくと他の問題にも応用が利きやすい。

答え

$6$