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九州大学 2025年理系第4問解説

方針・初手

円の性質（中心角と円周角の関係）を用いて各点の位置関係を明確にする。線分 $AD$ が直径であることと、与えられた弦の長さが等しいという条件から、各弧に対する中心角の大きさを決定できる。これがすべての設問の基礎となる。

解法1

(1)

円の中心を $O$ とする。線分 $AD$ は直径であるから、$\angle ACD = 90^\circ$ である。

直角三角形 $ACD$ において、$AC = CD$ であるから、$\angle ADC = 45^\circ$ となる。

円周角の定理より、弧 $AC$ に対する中心角は $\angle AOC = 90^\circ$ である。

次に、$AB = BC$ より弦の長さが等しいため、弧 $AB$ と弧 $BC$ の長さも等しい。

弧 $AC$ に対する中心角が $90^\circ$ であるから、それを2等分する弧 $AB$ および弧 $BC$ に対する中心角はそれぞれ $\angle AOB = 45^\circ$、$\angle BOC = 45^\circ$ となる。

求める $\angle ACB$ は弧 $AB$ に対する円周角であるから、中心角 $\angle AOB$ の半分となる。

$$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 22.5^\circ $$

(2)

三角形 $OBC$ に着目する。円の半径は $1$ であるから $OB = OC = 1$ であり、(1) より $\angle BOC = 45^\circ$ である。

三角形 $OBC$ において余弦定理を用いると、以下の式が成り立つ。

$$ BC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cos 45^\circ $$

$$ BC^2 = 2 - \sqrt{2} $$

$BC > 0$ であるから、平方根をとる。

$$ BC = \sqrt{2 - \sqrt{2}} $$

(3)

三角形 $BCE$ の面積を求めるために、内角の大きさと辺の長さを調べる。

(1) での考察より、弧 $CD$ に対する中心角は $\angle COD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ である。したがって、弧 $CD$ に対する円周角 $\angle CBD$（すなわち $\angle EBC$）は、中心角の半分となる。

$$ \angle EBC = \frac{1}{2} \angle COD = 45^\circ $$

また、(1) より $\angle ECB = \angle ACB = 22.5^\circ$ である。

三角形 $BCE$ の内角の和は $180^\circ$ であるから、残る $\angle CEB$ は次のように求まる。

$$ \angle CEB = 180^\circ - (45^\circ + 22.5^\circ) = 112.5^\circ $$

三角形 $BCE$ において正弦定理を用いると、辺 $BE$ の長さを $BC$ を用いて表すことができる。

$$ \frac{BE}{\sin 22.5^\circ} = \frac{BC}{\sin 112.5^\circ} $$

ここで、$\sin 112.5^\circ = \sin(90^\circ + 22.5^\circ) = \cos 22.5^\circ$ であるから、次のように変形できる。

$$ BE = BC \frac{\sin 22.5^\circ}{\cos 22.5^\circ} = BC \tan 22.5^\circ $$

$\tan 22.5^\circ$ の値は、半角の公式または図形的な性質から求めることができる。

$$ \tan 22.5^\circ = \frac{\sin 45^\circ}{1 + \cos 45^\circ} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1 $$

したがって、$BE = (\sqrt{2} - 1)BC$ となる。

三角形 $BCE$ の面積を $S$ とすると、面積の公式より以下のように計算できる。

$$ S = \frac{1}{2} BC \cdot BE \sin \angle EBC $$

$$ S = \frac{1}{2} BC \cdot (\sqrt{2} - 1)BC \sin 45^\circ $$

$$ S = \frac{1}{2} BC^2 (\sqrt{2} - 1) \frac{1}{\sqrt{2}} $$

(2) より $BC^2 = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$ であるから、これを代入する。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2} (\sqrt{2} - 1)^2 \\ &= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$

解法2

座標平面を設定して (3) を解く方法を示す。

円の中心を原点 $O(0, 0)$ とし、線分 $AD$ を $x$ 軸上にとる。反時計回りの順序から、$A(-1, 0), D(1, 0)$ と設定できる。

点 $C$ は第1象限にあり、中心角 $\angle AOC = 90^\circ$ であるから、$C(0, 1)$ となる。

中心角 $\angle AOB = 45^\circ$ であるから、点 $B$ の極座標は $(1, 135^\circ)$ となり、直交座標では $B\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ となる。

直線 $AC$ は点 $A(-1, 0)$ と点 $C(0, 1)$ を通るため、その方程式は以下のようになる。

$$ y = x + 1 $$

直線 $BD$ は点 $B\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ と点 $D(1, 0)$ を通る。その傾きは以下の通り計算できる。

$$ \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - 0}{-\frac{\sqrt{2}}{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 2} = \frac{1}{-1 - \sqrt{2}} = 1 - \sqrt{2} $$

よって、直線 $BD$ の方程式は以下のようになる。

$$ y = (1 - \sqrt{2})(x - 1) $$

直線 $AC$ と直線 $BD$ の交点 $E$ の座標を求めるため、2式を連立する。

$$ x + 1 = (1 - \sqrt{2})(x - 1) $$

$$ x + 1 = (1 - \sqrt{2})x - 1 + \sqrt{2} $$

$$ \sqrt{2}x = \sqrt{2} - 2 $$

$$ x = 1 - \sqrt{2} $$

これを $y = x + 1$ に代入すると $y = 2 - \sqrt{2}$ となり、交点 $E(1 - \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2})$ を得る。

三角形 $BCE$ の面積 $S$ を求めるため、頂点 $C$ が原点に重なるように各点を平行移動させる。点 $C$ を原点へ移動させると、他の点は $B'\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right)$、$E'(1 - \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2})$ となる。

座標を用いた三角形の面積公式 $S = \frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$ を適用する。

$$ S = \frac{1}{2} \left| -\frac{\sqrt{2}}{2}(1 - \sqrt{2}) - (1 - \sqrt{2})\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) \right| $$

$$ S = \frac{1}{2} \left| (1 - \sqrt{2}) \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right) \right| $$

$$ S = \frac{1}{2} \left| (1 - \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) \right| $$

$$ S = \frac{1}{2} (\sqrt{2} - 1)^2 = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2} $$