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東北大学 2023年文系第2問解説

方針・初手

円の中心を原点に置いて座標を設定すると、接点の座標が直ちに求まる。接点 $M,N$ が分かれば、三角形 $LMN$ の面積、内接円半径、外接円半径は辺の長さから順に計算できる。

解法1

円 $C$ の中心を $O(0,0)$、点 $L$ を $L(4,0)$ とおく。円 $C$ は半径 $1$ であるから、その方程式は

$$ x^2+y^2=1 $$

である。

接点の1つを $M(x,y)$ とすると、$M$ は円周上にあり、かつ半径 $OM$ と接線 $LM$ は垂直である。したがって

$$ \overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{LM}=0 $$

より

$$ (x,y)\cdot (4-x,-y)=0 $$

すなわち

$$ x(4-x)-y^2=0 $$

である。ここで $M$ は円周上にあるので $x^2+y^2=1$ を用いると、

$$ 4x-(x^2+y^2)=0 $$

となり、

$$ 4x-1=0 $$

よって

$$ x=\frac14 $$

である。したがって

$$ y^2=1-\left(\frac14\right)^2 =1-\frac1{16} =\frac{15}{16} $$

より

$$ y=\pm \frac{\sqrt{15}}{4} $$

である。

ゆえに2つの接点は

$$ M\left(\frac14,\frac{\sqrt{15}}4\right),\qquad N\left(\frac14,-\frac{\sqrt{15}}4\right) $$

である。

（1）三角形 $LMN$ の面積

線分 $MN$ は $x=\frac14$ 上にあるから、

$$ MN=\frac{\sqrt{15}}4-\left(-\frac{\sqrt{15}}4\right) =\frac{\sqrt{15}}2 $$

である。

また、点 $L(4,0)$ から直線 $MN$、すなわち $x=\frac14$ までの距離は

$$ 4-\frac14=\frac{15}{4} $$

である。

したがって、三角形 $LMN$ の面積を $S$ とすると

$$ S=\frac12\cdot MN\cdot \frac{15}{4} =\frac12\cdot \frac{\sqrt{15}}2 \cdot \frac{15}{4} =\frac{15\sqrt{15}}{16} $$

となる。

（2）内接円の半径 $r$ と外接円の半径 $R$

まず辺の長さを求める。

$$ LM=\sqrt{\left(4-\frac14\right)^2+\left(0-\frac{\sqrt{15}}4\right)^2} =\sqrt{\left(\frac{15}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{15}}4\right)^2} =\sqrt{\frac{225+15}{16}} =\sqrt{15} $$

同様に

$$ LN=\sqrt{15} $$

である。したがって三角形 $LMN$ の半周長 $s$ は

$$ s=\frac{LM+LN+MN}{2} =\frac{\sqrt{15}+\sqrt{15}+\frac{\sqrt{15}}2}{2} =\frac{5\sqrt{15}}4 $$

である。

内接円の半径 $r$ は

$$ S=rs $$

を用いて

$$ r=\frac{S}{s} =\frac{\frac{15\sqrt{15}}{16}}{\frac{5\sqrt{15}}4} =\frac34 $$

となる。

次に外接円の半径 $R$ は

$$ S=\frac{LM\cdot LN\cdot MN}{4R} $$

を用いて

$$ R=\frac{LM\cdot LN\cdot MN}{4S} =\frac{\sqrt{15}\cdot \sqrt{15}\cdot \frac{\sqrt{15}}2}{4\cdot \frac{15\sqrt{15}}{16}} =\frac{\frac{15\sqrt{15}}2}{\frac{15\sqrt{15}}4} =2 $$

となる。