数学A 平面図形 問題 16 解説

方針・初手

点 $O$ から直線 $AB$ に垂線を下ろし、その足を $H$ とする。円の中心から弦に下ろした垂線は弦を二等分するので、$AH=BH$ が使える。

あとは $PA$、$PB$ を $PH$ と $AH$ で表し、直角三角形の三平方の定理で $PH^2-AH^2$ を $PO^2-r^2$ に変形する。

解法1

点 $O$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。

直線 $AB$ は円と異なる $2$ 点 $A,B$ で交わるので、$AB$ は円の弦である。円の中心から弦に下ろした垂線は弦を二等分するから、

$$ AH=BH $$

である。

ここで $A$ を $P$ に近い方の交点、$B$ を遠い方の交点としてよい。点 $P$ は円の外部にあるので、直線上で $P$ は弦 $AB$ の外側にある。したがって、

$$ PA=PH-AH,\qquad PB=PH+BH $$

である。さらに $AH=BH$ より、

$$ PB=PH+AH $$

となる。よって、

$$ PA\cdot PB=(PH-AH)(PH+AH)=PH^2-AH^2 $$

である。

次に、三平方の定理を用いる。三角形 $OPH$ は $H$ を直角とする直角三角形なので、

$$ PO^2=PH^2+OH^2 $$

である。また、点 $A$ は円周上にあるから $OA=r$ であり、三角形 $OAH$ も $H$ を直角とする直角三角形なので、

$$ OA^2=OH^2+AH^2 $$

すなわち、

$$ r^2=OH^2+AH^2 $$

である。したがって、

$$ AH^2=r^2-OH^2 $$

となる。

これを $PA\cdot PB=PH^2-AH^2$ に代入すると、

$$ PA\cdot PB =PH^2-(r^2-OH^2) =PH^2+OH^2-r^2 $$

である。さらに $PH^2+OH^2=PO^2$ より、

$$ PA\cdot PB=PO^2-r^2 $$

が成り立つ。

解説

この問題の本質は、点 $P$ から円に引いた割線に対する「方べき」の証明である。

中心 $O$ から弦 $AB$ に垂線を下ろすと、弦の二等分性により $AH=BH$ が得られる。これによって $PA$ と $PB$ が

$$ PH-AH,\qquad PH+AH $$

という差と和の形になり、積が差の平方

$$ (PH-AH)(PH+AH)=PH^2-AH^2 $$

に整理される。

その後は、直角三角形 $OPH$ と $OAH$ に三平方の定理を使えばよい。特に、

$$ PH^2+OH^2=PO^2,\qquad AH^2+OH^2=r^2 $$

の差を取る形になっている点が重要である。

答え

示すべき等式は

$$ PA\cdot PB=PO^2-r^2 $$

であり、上の議論により成立することが証明された。