数学A 平面図形 問題 18 解説

方針・初手

（1） は、$M$ が共通弦 $AB$ 上にあることから、$M$ の2つの円に関する方べきが等しいことを使う。さらに、$m$ が共通接線であるため、接線の長さ $MC,MD$ を方べきで表せる。

（2） は、（1） で得た $MC=MD$ を用いて座標を置くと簡潔である。$\angle CMA=90^\circ$ より、共通弦 $AB$ は接線 $m$ に垂直になるので、交点 $A$ の座標を限定できる。

解法1

(1)

2つの円の共通弦は $AB$ であり、直線 $AB$ は2つの円の根軸である。したがって、$M$ は直線 $AB$ 上にあるから、$M$ の2つの円に関する方べきは等しい。

一方、直線 $m$ は2つの円の共通接線であり、接点はそれぞれ $C,D$ である。接線の長さと方べきの関係より、$M$ の左の円に関する方べきは $MC^2$、右の円に関する方べきは $MD^2$ である。

よって

$$ MC^2=MD^2 $$

である。長さは非負なので、

$$ MC=MD $$

となる。

$C,M,D$ は同一直線上にあり、$C\neq D$ であるから、$M$ は線分 $CD$ の中点である。

(2)

（1） より $M$ は $CD$ の中点である。そこで、直線 $m$ を $x$ 軸、$M$ を原点とし、

$$ C=(-a,0),\qquad D=(a,0)\qquad (a>0) $$

とおく。

2つの円の半径をそれぞれ $r_1,r_2$ とする。接点における半径は接線に垂直であり、2つの円は接線 $m$ の同じ側にあるので、中心は

$$ O_1=(-a,r_1),\qquad O_2=(a,r_2) $$

とおける。

したがって、2つの円の方程式はそれぞれ

$$ (x+a)^2+(y-r_1)^2=r_1^2 $$

$$ (x-a)^2+(y-r_2)^2=r_2^2 $$

である。

いま $\angle CMA=90^\circ$ である。$C,M$ は直線 $m$ 上にあるので、直線 $CM$ は $m$ と同じ向きである。よって $MA\perp m$ である。さらに $A,M,B$ は一直線上にあるから、共通弦 $AB$ は $y$ 軸である。

したがって、$A$ の座標を

$$ A=(0,t) $$

とおける。ただし、$A$ は接線 $m$ 上の点ではないので $t\neq 0$ である。

$A$ は第1の円上にあるから、

$$ a^2+(t-r_1)^2=r_1^2 $$

すなわち

$$ a^2+t^2-2r_1t=0 $$

である。

また、$A$ は第2の円上にもあるから、

$$ a^2+(t-r_2)^2=r_2^2 $$

すなわち

$$ a^2+t^2-2r_2t=0 $$

である。

この2式を引くと、

$$ -2r_1t+2r_2t=0 $$

より

$$ 2(r_2-r_1)t=0 $$

である。ここで $t\neq 0$ だから、

$$ r_1=r_2 $$

となる。

よって、2つの円の半径は等しい。

解説

（1） の本質は「共通弦上の点は2つの円に対して方べきが等しい」という根軸の性質である。さらに、点から円に引いた接線の長さの2乗が方べきに等しいので、$MC^2=MD^2$ が得られる。

（2） は、（1） の結果によって $C,D$ を対称に置けることが重要である。$\angle CMA=90^\circ$ により共通弦 $AB$ が接線に垂直になるため、交点 $A$ を $y$ 軸上の点として扱える。すると、$A$ が両方の円上にある条件を比較するだけで、半径が等しいことが従う。

答え

(1)

$M$ は線分 $CD$ の中点である。

(2)

$\angle CMA=90^\circ$ のとき、2つの円の半径は等しい。