数学A 平面図形 問題 20 解説

方針・初手

中点を扱う問題なので、ベクトルで各点の位置を表すと処理しやすい。 三角形の頂点の位置ベクトルを $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ とし、3つの中線が通る共通の点の候補を

$$ \mathbf{g}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3} $$

とおく。この点が $AD,BE,CF$ のすべての上にあり、それぞれを $2:1$ に内分することを示せばよい。

解法1

点 $A,B,C$ の位置ベクトルをそれぞれ

$$ \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} $$

とする。

$D,E,F$ はそれぞれ $BC,CA,AB$ の中点であるから、その位置ベクトルは

$$ \mathbf{d}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2},\qquad \mathbf{e}=\frac{\mathbf{c}+\mathbf{a}}{2},\qquad \mathbf{f}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2} $$

である。

ここで、点 $G$ の位置ベクトルを

$$ \mathbf{g}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3} $$

とおく。

まず、$G$ が線分 $AD$ 上にあることを示す。$\mathbf{d}=\dfrac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$ より、

$$ \begin{aligned} \mathbf{g} &=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{a}+\frac{2}{3}\cdot\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{a}+\frac{2}{3}\mathbf{d} \end{aligned} $$

となる。

したがって、$G$ は $A$ と $D$ を結ぶ線分上にあり、

$$ AG:GD=2:1 $$

である。

次に、$G$ が線分 $BE$ 上にあることを示す。$\mathbf{e}=\dfrac{\mathbf{c}+\mathbf{a}}{2}$ より、

$$ \begin{aligned} \mathbf{g} &=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{b}+\frac{2}{3}\cdot\frac{\mathbf{c}+\mathbf{a}}{2}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{b}+\frac{2}{3}\mathbf{e} \end{aligned} $$

となる。

したがって、$G$ は $B$ と $E$ を結ぶ線分上にあり、

$$ BG:GE=2:1 $$

である。

同様に、$F$ は $AB$ の中点であるから、$\mathbf{f}=\dfrac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}$ であり、

$$ \begin{aligned} \mathbf{g} &=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{c}+\frac{2}{3}\cdot\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{c}+\frac{2}{3}\mathbf{f} \end{aligned} $$

となる。

したがって、$G$ は $C$ と $F$ を結ぶ線分上にあり、

$$ CG:GF=2:1 $$

である。

以上より、線分 $AD,BE,CF$ はいずれも同じ点 $G$ を通り、

$$ AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1 $$

が成り立つ。

解説

三角形の各頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線という。3本の中線は1点で交わり、その交点を重心という。

この問題では、重心の位置ベクトル

$$ \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3} $$

を直接作ることで、3本の中線が同じ点を通ることと、その点が各中線を $2:1$ に内分することを同時に示している。

比の向きに注意する必要がある。たとえば $AD$ 上では、$G$ は $A$ から見て $D$ へ向かって全体の $\dfrac{2}{3}$ の位置にあるので、

$$ AG:GD=2:1 $$

である。

答え

線分 $AD,BE,CF$ は1点 $G$ で交わり、

$$ AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1 $$

である。