数学A 平面図形 問題 30 解説

方針・初手

面積条件からまず $AQ$ を求める。点 $Q$ は $AC$ の $C$ 側の延長上にあるので、$\triangle APQ$ の底辺を $AQ$ と見ると、高さは点 $P$ から直線 $AC$ までの距離である。

その後、直線 $PQM$ が三角形 $ABC$ の辺 $AB,BC$ と辺 $AC$ の延長を横切ることに着目し、メネラウスの定理で $BM$ を求める。

解法1

まず、$\triangle ABC$ の面積を求める。

$AB=5, AC=6, BC=7$ であるから、余弦定理より

$$ \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} =\frac{25+36-49}{2\cdot 5\cdot 6} =\frac{1}{5} $$

である。したがって

$$ \sin A=\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} =\frac{2\sqrt{6}}{5} $$

となる。

よって、$\triangle ABC$ の面積は

$$ [\triangle ABC] =\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A =\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} =6\sqrt{6} $$

である。

次に、$AP=t$ であり、$Q$ は直線 $AC$ 上にあるから、$\triangle APQ$ の面積は

$$ [\triangle APQ] =\frac{1}{2}\cdot AP\cdot AQ\cdot \sin A =\frac{1}{2}\cdot t\cdot AQ\cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} =\frac{t\sqrt{6}}{5}AQ $$

である。

条件より $[\triangle ABC]=[\triangle APQ]$ だから、

$$ \frac{t\sqrt{6}}{5}AQ=6\sqrt{6} $$

となる。したがって

$$ AQ=\frac{30}{t} $$

である。

ここで、$AC=6$ より

$$ CQ=AQ-AC=\frac{30}{t}-6=\frac{6(5-t)}{t} $$

である。

直線 $PQM$ は、三角形 $ABC$ に対して、辺 $AB$ 上の点 $P$、辺 $BC$ 上の点 $M$、辺 $AC$ の延長上の点 $Q$ を通る。よって、メネラウスの定理より

$$ \frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CQ}{QA}=1 $$

が成り立つ。

ここで、

$$ PB=AB-AP=5-t $$

であり、また

$$ \begin{aligned} \frac{CQ}{QA} &= \frac{\frac{6(5-t)}{t}}{\frac{30}{t}} \\ \frac{5-t}{5} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \frac{t}{5-t}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{5-t}{5}=1 $$

より、

$$ \frac{t}{5}\cdot \frac{BM}{MC}=1 $$

となる。よって

$$ \frac{BM}{MC}=\frac{5}{t} $$

である。

また、$BC=7$ だから、$BM=x$ とおくと $MC=7-x$ であり、

$$ \frac{x}{7-x}=\frac{5}{t} $$

となる。これを解くと、

$$ tx=5(7-x) $$

すなわち

$$ (t+5)x=35 $$

であるから、

$$ BM=x=\frac{35}{t+5} $$

である。

解説

この問題では、面積条件をそのまま使うと $AQ$ がすぐに決まる。$\triangle ABC$ と $\triangle APQ$ はどちらも角 $A$ を共有しているため、面積公式

$$ \frac{1}{2}ab\sin C $$

を使うのが自然である。

$AQ$ が求まった後は、点 $P,M,Q$ が一直線上にあることを利用する。$Q$ が辺 $AC$ 上ではなく、$C$ 側の延長上にあるため、メネラウスの定理がそのまま有効である。

答え

$$ BM=\frac{35}{t+5} $$

$$ AQ=\frac{30}{t} $$