数学A 平面図形 問題 42 解説

方針・初手

点 $D$ は線分 $AB$ 上にあるので、$D=(u,1-u)$ とおく。角の条件 $\angle ACO=\angle BCD$ は、どちらも水平線となす角として扱えるため、正接を比較する。

その後、三角形 $ACD$ の面積を $t$ の関数として表し、最大値を求める。

解法1

点 $D$ は線分 $AB$ 上にあるから、ある $u$ を用いて

$$ D=(u,1-u) \quad (0 \leqq u \leqq 1) $$

と表せる。

まず $\angle ACO$ を考える。点 $C(t,0)$ から見て、

$$ \overrightarrow{CO}=(-t,0), \qquad \overrightarrow{CA}=(-t,1) $$

である。したがって、$\angle ACO$ は負の $x$ 軸方向とベクトル $\overrightarrow{CA}$ のなす角であり、その正接は

$$ \tan \angle ACO=\frac{1}{t} $$

である。

次に $\angle BCD$ を考える。点 $C$ から見て、

$$ \overrightarrow{CB}=(1-t,0), \qquad \overrightarrow{CD}=(u-t,1-u) $$

である。ここで $\angle ACO<90^\circ$ であるから、$\angle BCD=\angle ACO$ となるには $\overrightarrow{CD}$ が点 $C$ から右上方向を向く必要があり、$u>t$ である。

よって、$\angle BCD$ の正接は

$$ \tan \angle BCD=\frac{1-u}{u-t} $$

である。角の条件より

$$ \frac{1-u}{u-t}=\frac{1}{t} $$

となる。これを解くと、

$$ t(1-u)=u-t $$

$$ t-tu=u-t $$

$$ 2t=u(1+t) $$

より、

$$ u=\frac{2t}{1+t} $$

である。$0<t<1$ なので、実際に

$$ t<\frac{2t}{1+t}<1 $$

が成り立ち、これは線分 $AB$ 上の点として適切である。

次に三角形 $ACD$ の面積を求める。$A(0,1)$ $C(t,0)$ $D(u,1-u)$ であるから、

$$ \overrightarrow{AC}=(t,-1), \qquad \overrightarrow{AD}=(u,-u) $$

である。したがって、三角形 $ACD$ の面積 $S$ は

$$ S=\frac{1}{2}\left|t(-u)-(-1)u\right| $$

$$ =\frac{1}{2}u(1-t) $$

である。ここに $u=\dfrac{2t}{1+t}$ を代入すると、

$$ S=\frac{1}{2}\cdot \frac{2t}{1+t}(1-t) $$

$$ =\frac{t(1-t)}{1+t} $$

となる。

よって、$0<t<1$ において

$$ f(t)=\frac{t(1-t)}{1+t} $$

の最大値を求めればよい。

微分すると、

$$ f'(t)=\frac{(1-2t)(1+t)-(t-t^2)}{(1+t)^2} $$

$$ =\frac{1-2t-t^2}{(1+t)^2} $$

である。分母は正なので、符号は分子 $1-2t-t^2$ で決まる。

$$ 1-2t-t^2=0 $$

を解くと、

$$ t^2+2t-1=0 $$

より、

$$ t=-1+\sqrt{2} $$

である。これは $0<t<1$ を満たす。

また、$1-2t-t^2$ は $t=\sqrt{2}-1$ を境に正から負へ変わるので、$f(t)$ はこの点で最大となる。

したがって最大値は

$$ \begin{aligned} f(\sqrt{2}-1) &= \frac{(\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2})}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{(\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2})}{\sqrt{2}} &= 3-2\sqrt{2} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、角の条件から点 $D$ の位置を決定するのが核心である。$AB$ 上の点を $D=(u,1-u)$ とおくと、角の条件は正接の比較に変換できる。

注意すべき点は、$\angle BCD$ の正接を

$$ \frac{1-u}{u-t} $$

とするためには $u>t$ が必要であることである。これは $\angle ACO$ が鋭角であることから保証される。ここを確認せずに式だけ立てると、角の向きに関する条件を落とす危険がある。

点 $D$ が決まった後は、面積を $t$ の関数

$$ S=\frac{t(1-t)}{1+t} $$

に落とし込み、通常の微分によって最大値を求めればよい。

答え

三角形 $ACD$ の面積の最大値は

$$ 3-2\sqrt{2} $$

である。

この最大値は

$$ t=\sqrt{2}-1 $$

のときにとる。