数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 28 解説

方針・初手

$z=x+yi$ とおき、$z+\dfrac{3}{z}$ が実数である条件を虚部が $0$ である条件として処理する。

そのうえで、得られた場合ごとに

$$ 3 \le z+\frac{3}{z} \le 4 $$

を満たす範囲を調べればよい。

解法1

$z=x+yi$ とおく。ただし、$\dfrac{3}{z}$ が定義されるため $z\ne 0$ である。

このとき

$$ \begin{aligned} \frac{3}{z} &= \frac{3}{x+yi}\\ &= \frac{3(x-yi)}{x^2+y^2}\\ &= \frac{3x}{x^2+y^2}-i\frac{3y}{x^2+y^2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ z+\frac{3}{z} = \left(x+\frac{3x}{x^2+y^2}\right) +i\left(y-\frac{3y}{x^2+y^2}\right) $$

となる。

これが実数であるための条件は虚部が $0$ であることなので、

$$ y-\frac{3y}{x^2+y^2}=0 $$

すなわち

$$ y\left(1-\frac{3}{x^2+y^2}\right)=0 $$

である。

したがって、次のいずれかが成り立つ。

$$ y=0 $$

または

$$ x^2+y^2=3 $$

である。

(i) $y=0$ のとき

このとき $z=x$ は実数であり、$x\ne 0$ である。

条件は

$$ 3 \le x+\frac{3}{x} \le 4 $$

となる。

$x<0$ のとき、$x+\dfrac{3}{x}<0$ であるから不適である。よって $x>0$ としてよい。

$x>0$ では、相加相乗平均より

$$ x+\frac{3}{x}\ge 2\sqrt{3}>3 $$

であるから、下側の不等式は常に成り立つ。

したがって

$$ x+\frac{3}{x}\le 4 $$

を解けばよい。$x>0$ より両辺に $x$ を掛けて、

$$ x^2+3\le 4x $$

すなわち

$$ x^2-4x+3\le 0 $$

である。

因数分解すると

$$ (x-1)(x-3)\le 0 $$

であるから、

$$ 1\le x\le 3 $$

を得る。

よって、この場合の範囲は実軸上の線分

$$ 1\le x\le 3,\quad y=0 $$

である。

(ii) $x^2+y^2=3$ のとき

このとき

$$ \begin{aligned} z+\frac{3}{z} &= x+\frac{3x}{x^2+y^2}\\ &= x+\frac{3x}{3}\\ &= 2x \end{aligned} $$

である。

したがって条件は

$$ 3\le 2x\le 4 $$

すなわち

$$ \frac{3}{2}\le x\le 2 $$

である。

ただし、円 $x^2+y^2=3$ 上では $x\le \sqrt{3}$ であり、$\sqrt{3}<2$ であるから、実際には

$$ \frac{3}{2}\le x\le \sqrt{3} $$

となる。

よって、この場合の範囲は円

$$ x^2+y^2=3 $$

のうち

$$ x\ge \frac{3}{2} $$

を満たす部分である。

端点は

$$ x=\frac{3}{2} $$

のとき

$$ y^2=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} $$

より

$$ y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。また、右端は

$$ (\sqrt{3},0) $$

である。

したがって、円 $x^2+y^2=3$ 上の点

$$ \left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \quad (\sqrt{3},0), \quad \left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$

を結ぶ右側の弧が該当する。

解説

$z+\dfrac{3}{z}$ が実数であるという条件は、複素数平面上でかなり強い制約を与える。実際に虚部を $0$ とすると、実軸 $y=0$ と円 $x^2+y^2=3$ の和集合に限られる。

その後の不等式は、それぞれの上で実数値として処理すればよい。実軸上では $x+\dfrac{3}{x}$、円上では $2x$ になるため、条件が大きく単純化される。

図示すると、求める範囲は次の $2$ つの部分の和集合である。

• 実軸上の線分 $1\le x\le 3$
• 円 $x^2+y^2=3$ のうち $x\ge \dfrac{3}{2}$ の部分

答え

求める $z=x+yi$ の範囲は

$$ \boxed{ {(x,y)\mid y=0,\ 1\le x\le 3} \cup \left\{(x,y)\mid x^2+y^2=3,\ x\ge \frac{3}{2}\right\} } $$

である。

すなわち、複素数平面上では、実軸上の線分 $[1,3]$ と、円 $x^2+y^2=3$ のうち $x\ge \dfrac{3}{2}$ を満たす右側の弧を合わせた図形である。