北海道大学 2023年 理系 第1問 解説

方針・初手

(1) について、円の方程式の形 $|z - \alpha| = r$ を意識し、条件 (B) の変換式を用いて $z$ の軌跡から $w$ の軌跡へと言い換える。漸化式を利用して中心 $\alpha_n$ と半径 $r_n$ の一般項を求める。 (2) について、円 $C_n$ 上の点と原点 O との最短距離 $d_n$ は、原点と円の中心の距離 $|\alpha_n|$ と円の半径 $r_n$ の大小関係から $d_n = | |\alpha_n| - r_n |$ と表せる。絶対値を外すために、$n$ の値による大小関係の境目を調べる。

解法1

(1)

$C_1$ は原点 O を中心とする半径 2 の円であるから、中心 $\alpha_1 = 0$、半径 $r_1 = 2$ の円である。

ある自然数 $k$ について、$C_k$ が中心 $\alpha_k$、半径 $r_k$ の円であると仮定する。このとき、$C_k$ 上の点 $z$ は次の方程式を満たす。

$$ |z - \alpha_k| = r_k $$

条件 (B) より $2w = z + 1 + i$ であるから、$z = 2w - 1 - i$ を代入すると、

$$ |2w - 1 - i - \alpha_k| = r_k $$

$$ \left| 2\left(w - \frac{\alpha_k + 1 + i}{2}\right) \right| = r_k $$

$$ \left| w - \frac{\alpha_k + 1 + i}{2} \right| = \frac{r_k}{2} $$

よって、$w$ の描く図形 $C_{k+1}$ は、中心 $\frac{\alpha_k + 1 + i}{2}$、半径 $\frac{r_k}{2}$ の円となる。

したがって、すべての自然数 $n$ について $C_n$ は円であり、その中心 $\alpha_n$ と半径 $r_n$ について以下の漸化式が成り立つ。

$$ \alpha_{n+1} = \frac{1}{2}\alpha_n + \frac{1+i}{2} $$

$$ r_{n+1} = \frac{1}{2}r_n $$

半径 $r_n$ について、初項 $r_1 = 2$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であるから、

$$ r_n = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{2^{n-2}} $$

中心 $\alpha_n$ について、漸化式は次のように変形できる。

$$ \alpha_{n+1} - (1+i) = \frac{1}{2} \{ \alpha_n - (1+i) \} $$

数列 $\{\alpha_n - (1+i)\}$ は初項 $\alpha_1 - (1+i) = -(1+i)$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であるから、

$$ \alpha_n - (1+i) = -(1+i)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

$$ \alpha_n = (1+i)\left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} $$

(2)

複素数平面上で、中心が $\alpha_n$、半径が $r_n$ の円 $C_n$ 上の点と原点 O との距離の最小値 $d_n$ は、中心と原点の距離 $|\alpha_n|$ と半径 $r_n$ の差の絶対値として与えられる。

$$ d_n = \left| |\alpha_n| - r_n \right| $$

まず、$|\alpha_n|$ を求める。$n \geqq 1$ において $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \geqq 0$ であることに注意して、

$$ |\alpha_n| = |1+i| \left| 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right| = \sqrt{2} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} $$

次に、$|\alpha_n| - r_n$ の符号を調べる。

$$ |\alpha_n| - r_n = \sqrt{2} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} - 2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \sqrt{2} - (\sqrt{2}+2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

$|\alpha_n| - r_n \geqq 0$ となる条件を考える。

$$ (\sqrt{2}+2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \leqq \sqrt{2} $$

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \leqq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2} = \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{4-2} = \sqrt{2}-1 $$

ここで、$\sqrt{2} \approx 1.414$ より $\sqrt{2}-1 \approx 0.414$ である。

$n=1$ のとき、$\left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 > 0.414$

$n=2$ のとき、$\left(\frac{1}{2}\right)^1 = 0.5 > 0.414$

$n=3$ のとき、$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0.25 \leqq 0.414$

数列 $\left\{ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\}$ は単調に減少するため、$n \geqq 3$ のすべての自然数について $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \leqq \sqrt{2}-1$ が成り立つ。

したがって、$d_n$ は次のように場合分けされる。

(i) $n=1, 2$ のとき

$|\alpha_n| - r_n < 0$ であるから、原点は円 $C_n$ の内部にあり、

$$ d_n = r_n - |\alpha_n| = (\sqrt{2}+2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - \sqrt{2} $$

(ii) $n \geqq 3$ のとき

$|\alpha_n| - r_n > 0$ であるから、原点は円 $C_n$ の外部にあり、

$$ d_n = |\alpha_n| - r_n = \sqrt{2} - (\sqrt{2}+2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

極限 $\lim_{n \to \infty} d_n$ については、$n \to \infty$ のとき $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \to 0$ となるため、(ii) の結果を用いて、

$$ \lim_{n \to \infty} d_n = \lim_{n \to \infty} \left\{ \sqrt{2} - (\sqrt{2}+2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} = \sqrt{2} $$

解説

複素数平面における円の写像と数列の漸化式を組み合わせた標準的な問題である。(1) では、条件式 $z = 2w - 1 - i$ を円の方程式に代入し、$w$ について整理することで、新たな円の中心と半径の漸化式を導出する。(2) では、円周上の点と原点との最短距離を求める際、「原点が円の内部にあるか、外部にあるか」によって絶対値の外れ方が異なる点に注意が必要である。指数関数を含む不等式を評価し、大小関係が逆転する $n$ の境目を正確に調べることが本問の最大のポイントである。

答え

(1)

中心 $\alpha_n = (1+i)\left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\}$、半径 $r_n = \frac{1}{2^{n-2}}$

(2)

$n=1, 2$ のとき $d_n = (\sqrt{2}+2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - \sqrt{2}$

$n \geqq 3$ のとき $d_n = \sqrt{2} - (\sqrt{2}+2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

極限値 $\lim_{n \to \infty} d_n = \sqrt{2}$