名古屋大学 2023年 理系 第1問 解説

方針・初手

(1) は複素数平面上の円の条件を数式に翻訳します。点 $1$ を中心とする半径 $1$ の円周上にあるという条件を、絶対値の式 $|\alpha - 1| = 1$ で表し、それを2乗して展開することで示します。

(2) は4次方程式の「解と係数の関係」あるいは因数定理を用います。4つの解 $\alpha, \overline{\alpha}, \beta, \overline{\beta}$ を使って方程式を因数分解された形で表し、展開して元の式の係数と比較します。

(3) は (2) の結果から $p$ と $s$ が $t, u$ の基本対称式として表されていることに着目し、$t, u$ を2解とする2次方程式を作成します。その後、$t, u$ のとりうる値の範囲を $\alpha, \beta$ の条件から求め、2次方程式の解の配置（解の存在範囲）の問題に帰着させます。相異なる4つの複素数解であることの条件漏れに注意が必要です。

解法1

(1)

$\alpha$ は点 $1$ を中心とする半径 $1$ の円周上にあるので、次の等式が成り立つ。

$$ |\alpha - 1| = 1 $$

この両辺を2乗すると、

$$ |\alpha - 1|^2 = 1 $$

複素数の絶対値の性質 $|z|^2 = z\overline{z}$ を用いると、

$$ (\alpha - 1)(\overline{\alpha - 1}) = 1 $$

$$ (\alpha - 1)(\overline{\alpha} - 1) = 1 $$

左辺を展開して、

$$ \alpha\overline{\alpha} - \alpha - \overline{\alpha} + 1 = 1 $$

$$ \alpha\overline{\alpha} - (\alpha + \overline{\alpha}) = 0 $$

したがって、次が成り立つ。

$$ \alpha + \overline{\alpha} = \alpha\overline{\alpha} $$

（証明終）

(2)

$\beta$ も点 $1$ を中心とする半径 $1$ の円周上にあるため、(1) と同様にして次が成り立つ。

$$ \beta + \overline{\beta} = \beta\overline{\beta} $$

$t = \alpha + \overline{\alpha}$, $u = \beta + \overline{\beta}$ とおくと、(1) の結果と合わせて、

$$ \alpha\overline{\alpha} = t, \quad \beta\overline{\beta} = u $$

となる。

4次方程式 $x^4 - px^3 + qx^2 - rx + s = 0$ は、$\alpha, \overline{\alpha}, \beta, \overline{\beta}$ を解に持つため、因数定理により次のように表せる。

$$ x^4 - px^3 + qx^2 - rx + s = (x - \alpha)(x - \overline{\alpha})(x - \beta)(x - \overline{\beta}) $$

右辺を展開していく。

$$ \begin{aligned} (x - \alpha)(x - \overline{\alpha}) &= x^2 - (\alpha + \overline{\alpha})x + \alpha\overline{\alpha} \\ &= x^2 - tx + t \end{aligned} $$

同様に、

$$ \begin{aligned} (x - \beta)(x - \overline{\beta}) &= x^2 - (\beta + \overline{\beta})x + \beta\overline{\beta} \\ &= x^2 - ux + u \end{aligned} $$

これらを掛け合わせる。

$$ \begin{aligned} (x^2 - tx + t)(x^2 - ux + u) &= x^2(x^2 - ux + u) - tx(x^2 - ux + u) + t(x^2 - ux + u) \\ &= x^4 - ux^3 + ux^2 - tx^3 + tux^2 - tux + tx^2 - tux + tu \\ &= x^4 - (t+u)x^3 + (tu + t + u)x^2 - 2tux + tu \end{aligned} $$

もとの4次方程式の係数と比較すると、

$$ \begin{cases} p = t + u \\ q = t + u + tu \\ r = 2tu \\ s = tu \end{cases} $$

(3)

(2) の結果より、$p = t + u$, $s = tu$ である。 これは、$t$ と $u$ が $X$ の2次方程式

$$ X^2 - pX + s = 0 \quad \cdots (*) $$

の2つの解であることを示している。

次に、$t$ と $u$ のとりうる値の範囲を求める。 方程式は相異なる4つの複素数解 $\alpha, \overline{\alpha}, \beta, \overline{\beta}$ を持つため、これらが実数解であってはならない。もし $\alpha$ が実数であれば $\alpha = \overline{\alpha}$ となり、相異なるという条件に反するからである。 したがって、$\alpha$ は点 $1$ を中心とする半径 $1$ の円周上にある虚数であるから、

$$ \alpha = 1 + \cos\theta + i\sin\theta \quad (0 \le \theta < 2\pi, \ \sin\theta \neq 0) $$

とおくことができる。 $\sin\theta \neq 0$ であるから、$-1 < \cos\theta < 1$ である。 このとき、$t$ の値は、

$$ t = \alpha + \overline{\alpha} = (1 + \cos\theta + i\sin\theta) + (1 + \cos\theta - i\sin\theta) = 2 + 2\cos\theta $$

$-1 < \cos\theta < 1$ より、

$$ 0 < 2 + 2\cos\theta < 4 $$

よって、$0 < t < 4$ である。 同様の理由で、$u$ についても $0 < u < 4$ が成り立つ。

さらに、$t = u$ と仮定すると、$\alpha + \overline{\alpha} = \beta + \overline{\beta}$ かつ $\alpha\overline{\alpha} = \beta\overline{\beta}$ となるため、$\{ \alpha, \overline{\alpha} \} = \{ \beta, \overline{\beta} \}$ となってしまう。 これは解が相異なることに反するため、$t \neq u$ である。

以上より、$t$ と $u$ は $0 < X < 4$ の範囲にある相異なる2つの実数である。 したがって、点 $(p, s)$ のとりうる範囲は、2次方程式 $(*)$ が $0 < X < 4$ の範囲に異なる2つの実数解を持つような条件として求められる。 $f(X) = X^2 - pX + s$ とおく。求める条件は、放物線 $Y = f(X)$ について以下の4つがすべて成り立つことである。

(i) 判別式 $D > 0$

$$ D = p^2 - 4s > 0 \iff s < \frac{1}{4}p^2 $$

(ii) 軸の位置 $0 < \frac{p}{2} < 4$

$$ 0 < p < 8 $$

(iii) $f(0) > 0$

$$ s > 0 $$

(iv) $f(4) > 0$

$$ 16 - 4p + s > 0 \iff s > 4p - 16 $$

これらの不等式が表す領域が、点 $(p, s)$ のとりうる範囲である。 境界線 $s = \frac{1}{4}p^2$ と $s = 4p - 16$ の交点を調べると、

$$ \frac{1}{4}p^2 = 4p - 16 $$

$$ p^2 - 16p + 64 = 0 $$

$$ (p - 8)^2 = 0 $$

となり、$p = 8$ で重解を持つ。ゆえに放物線 $s = \frac{1}{4}p^2$ と直線 $s = 4p - 16$ は点 $(8, 16)$ で接している。 また、直線 $s = 0$ と $s = 4p - 16$ の交点は $(4, 0)$ である。

これを $ps$ 平面上に図示すると、放物線 $s = \frac{1}{4}p^2$ の下側、直線 $s = 4p - 16$ の上側、かつ $p$ 軸（$s = 0$）の上側で囲まれた領域となる。

解説

複素数平面における円の条件から始まり、解と係数の関係、2次方程式の解の配置へとつながる総合的な問題です。 最大のポイントは (3) において、$t$ と $u$ の範囲を正しく求められるかどうかにあります。方程式が「相異なる」解を持つという条件から、$\alpha, \beta$ が実数軸上にないこと（$\alpha \neq 0, 2$）、および $t \neq u$ であることを見抜く必要があります。これを忘れると、境界上の点を含めてしまうことになります。

答え

(1) $$ \alpha + \overline{\alpha} = \alpha\overline{\alpha} $$

(2) $p = t + u, \quad q = t + u + tu, \quad r = 2tu, \quad s = tu$

(3) 点 $(p, s)$ のとりうる範囲は、下図の斜線部分である。 ただし、境界線上の点はすべて含まない。

（※図の説明：横軸を $p$、縦軸を $s$ とした座標平面において、原点 $(0,0)$、点 $(4,0)$、点 $(8,16)$ を結ぶような領域。上側は放物線 $s = \frac{1}{4}p^2 \ (0 < p < 8)$、下側は線分 $s = 0 \ (0 < p \le 4)$ および線分 $s = 4p - 16 \ (4 < p < 8)$ で囲まれた部分となる。）