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東京大学 2025年理系第6問解説

方針・初手

(1) 曲線 $C$ の方程式 $|z - 1/2| = 1/2$ を変形し、$1/z$ についての式を導く。あるいは極形式を用いて計算する。
(2) (1) の結果を利用し、$1/\alpha, 1/\beta$ を $1+is, 1+it$ とおく。対称性を生かして基本対称式を用いて軌跡を求める。
(3) (2) の結果の否定条件から不等式を作り、$\gamma = x+iy$ とおいて $1/\gamma$ の実部を $x, y$ で表す。その後、条件式の不等式を使って変数の取り得る範囲を絞り、最大・最小を求める。

解法1

(1)

点 $z$ は曲線 $C$ 上にあるので、$|z - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ かつ $z \neq 0$ を満たす。両辺を2乗して整理する。

$$ \left| z - \frac{1}{2} \right|^2 = \frac{1}{4} $$

$$ \left( z - \frac{1}{2} \right) \overline{\left( z - \frac{1}{2} \right)} = \frac{1}{4} $$

$$ \left( z - \frac{1}{2} \right) \left( \bar{z} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} $$

$$ z\bar{z} - \frac{1}{2}z - \frac{1}{2}\bar{z} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $$

$$ z\bar{z} - \frac{1}{2}(z + \bar{z}) = 0 $$

$z \neq 0$ より $z\bar{z} = |z|^2 \neq 0$ であるから、両辺を $z\bar{z}$ で割ることができる。

$$ 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\bar{z}} + \frac{1}{z} \right) = 0 $$

$$ \frac{1}{z} + \frac{1}{\bar{z}} = 2 $$

$\frac{1}{z}$ の実部は、$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{z} + \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} \right)$ であるから、

$$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{z} + \frac{1}{\bar{z}} \right) = \frac{1}{2} \times 2 = 1 $$

よって、$\frac{1}{z}$ の実部は $1$ であることが示された。

(2)

$\alpha, \beta$ は曲線 $C$ 上の相異なる複素数であるから、(1) の結果より $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ は実部が $1$ の相異なる複素数である。したがって、$s, t$ を相異なる実数として、

$$ \frac{1}{\alpha} = 1 + is, \quad \frac{1}{\beta} = 1 + it $$

とおくことができる。このとき、求める複素数 $w = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$ は、

$$ \begin{aligned} w &= (1 + is)^2 + (1 + it)^2 \\ &= (1 - s^2 + 2is) + (1 - t^2 + 2it) \\ &= 2 - (s^2 + t^2) + 2(s + t)i \end{aligned} $$

$w = x + iy$ ($x, y$ は実数) とおくと、実部と虚部を比較して

$$ x = 2 - (s^2 + t^2) $$

$$ y = 2(s + t) $$

$s+t = u, st = v$ とおくと、$s^2 + t^2 = u^2 - 2v$ であるから、

$$ x = 2 - u^2 + 2v $$

$$ y = 2u $$

$s, t$ は相異なる実数であるため、$s, t$ を解にもつ $T$ についての2次方程式 $T^2 - uT + v = 0$ は異なる2つの実数解をもつ。その判別式を $D$ とすると、$D = u^2 - 4v > 0$ より、

$$ v < \frac{u^2}{4} $$

$x, y$ の式から $u, v$ について解くと、

$$ u = \frac{y}{2} $$

$$ v = \frac{x - 2 + u^2}{2} $$

これらを不等式に代入する。

$$ \frac{x - 2 + u^2}{2} < \frac{u^2}{4} $$

$$ 2x - 4 + 2u^2 < u^2 $$

$$ 2x < 4 - u^2 $$

$$ x < 2 - \frac{1}{2}u^2 $$

$u = \frac{y}{2}$ を代入して、

$$ x < 2 - \frac{1}{2}\left(\frac{y}{2}\right)^2 $$

$$ x < -\frac{1}{8}y^2 + 2 $$

$x, y$ がこの不等式を満たすとき、対応する実数 $u, v$ が定まり、条件を満たす相異なる実数 $s, t$ が存在する。よって、求める範囲は複素数平面上で不等式 $x < -\frac{1}{8}y^2 + 2$ が表す領域である。これは放物線 $x = -\frac{1}{8}y^2 + 2$ の左側の領域であり、境界線は含まない。

(3)

$\gamma$ は (2) で求めた範囲に属さない複素数であるから、$\gamma = x + iy$ ($x, y$ は実数) とおくと、

$$ x \ge -\frac{1}{8}y^2 + 2 $$

を満たす。 $\gamma = 0$（すなわち $x=0, y=0$）とすると $0 \ge 2$ となり矛盾するため、$\gamma \neq 0$ である。 $\frac{1}{\gamma}$ の実部を $k$ とおくと、

$$ \frac{1}{\gamma} = \frac{1}{x+iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2} $$

より、

$$ k = \frac{x}{x^2+y^2} $$

条件式 $x \ge -\frac{1}{8}y^2 + 2$ より、$y^2 \ge 16 - 8x$ である。これを用いて $k$ のとりうる値の範囲を考える。

(i)

$x > 0$ のとき

$x \ge 2$ のときは、$16 - 8x \le 0$ であり、$y^2 \ge 0$ の範囲を動く。 $0 < x < 2$ のときは、$y^2 \ge 16 - 8x > 0$ を動く。 $x$ を固定すると、分母 $x^2+y^2$ を最小にするとき $k$ は最大となる。

$x \ge 2$ のとき、$y^2$ の最小値は $0$ なので、

$$ k \le \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \le \frac{1}{2} $$

等号は $x=2, y=0$ のときに成り立つ。

$0 < x < 2$ のとき、$y^2$ の最小値は $16 - 8x$ なので、

$$ k \le \frac{x}{x^2 + 16 - 8x} = \frac{x}{(x-4)^2} $$

$f(x) = \frac{x}{(x-4)^2}$ とおいて $0 < x < 2$ における増減を調べる。

$$ f'(x) = \frac{1 \cdot (x-4)^2 - x \cdot 2(x-4)}{(x-4)^4} = \frac{(x-4) - 2x}{(x-4)^3} = \frac{-x-4}{(x-4)^3} $$

$0 < x < 2$ において、分子 $-x-4 < 0$、分母 $(x-4)^3 < 0$ であるから、$f'(x) > 0$ となり $f(x)$ は単調増加である。したがって、

$$ f(x) < f(2) = \frac{2}{(-2)^2} = \frac{1}{2} $$

よって、$x > 0$ のときの $k$ の最大値は $\frac{1}{2}$ である。

(ii)

$x = 0$ のとき

$k = 0$ となる。

(iii)

$x < 0$ のとき

$k = \frac{x}{x^2+y^2} < 0$ である。 $x$ を固定すると、分母 $x^2+y^2$ を最小にするとき、負の値である $k$ は絶対値が最大となり、最小値をとる。 $x < 0$ より $16-8x > 0$ であり、$y^2$ の最小値は $16-8x$ であるから、

$$ k \ge \frac{x}{x^2 + 16 - 8x} = \frac{x}{(x-4)^2} = f(x) $$

$x < 0$ における $f(x)$ の増減を調べる。

$$ f'(x) = \frac{-x-4}{(x-4)^3} $$

$x < -4$ のとき、分子は正、分母は負なので $f'(x) < 0$ であり単調減少。 $x = -4$ のとき、$f'(x) = 0$。 $-4 < x < 0$ のとき、分子は負、分母は負なので $f'(x) > 0$ であり単調増加。

したがって、$f(x)$ は $x = -4$ で最小値をとる。

$$ f(-4) = \frac{-4}{(-4-4)^2} = \frac{-4}{64} = -\frac{1}{16} $$

等号は $x = -4$ かつ $y^2 = 16 - 8(-4) = 48$（すなわち $y = \pm 4\sqrt{3}$）のときに成り立つ。よって、$x < 0$ のときの $k$ の最小値は $-\frac{1}{16}$ である。

以上の（i）～（iii）より、$k$ の最大値は $\frac{1}{2}$、最小値は $-\frac{1}{16}$ である。

解法2

(1)の極形式を用いた別解

点 $z$ の偏角を $\theta$ とすると、$z$ は原点を中心とする単位円上の点を実軸方向に $\frac{1}{2}$ 平行移動し、全体を $\frac{1}{2}$ 倍した図形上にある。原点を含まないことから $\theta \neq \frac{\pi}{2} + m\pi$ ($m$ は整数) である。図形的に考えると、$z$ と原点の距離は $\cos\theta$ で表されるため、$z = \cos\theta (\cos\theta + i\sin\theta)$ とかける。

$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{\cos\theta (\cos\theta + i\sin\theta)} = \frac{\cos\theta - i\sin\theta}{\cos\theta} = 1 - i\tan\theta $$

したがって、$\frac{1}{z}$ の実部は $1$ である。

解説

複素数平面における反転（逆数への変換）の典型的な性質をテーマにした問題である。 (1) では円 $C$ が原点を通るため、$w = 1/z$ の軌跡は直線となる。これを数式で処理するか、極形式を用いて導くかで解法が分かれるが、どちらも定石である。 (2) は対称式を活用して実部・虚部を立式し、2次方程式の実数解条件に帰着させるのが最も自然である。「相異なる」という条件を見落とさないよう注意が必要である。 (3) は2変数関数の最大・最小問題に帰着する。実部を $k$ とおいて等式制約付きの不等式条件の元で最大・最小を求める。一変数を固定して分母の最大最小からアプローチするのが見通しがよい。微分を利用した関数の増減調べが正確にできれば完答できる。