大阪大学 2024年 理系 第2問 解説

方針・初手

$f(1) - 3$, $f(i) - 1$ をそれぞれ $u, v$ とおき、与えられた不等式を $|u| \leqq 1$, $|v| \leqq 3$ と翻訳して扱うのが見通しのよい解法である。 求める $f(1+i)$ を $\alpha, \beta$ を消去して $u, v$ の式で表し、$u, v$ が互いに独立に動くことを確認したうえで、複素数平面上における「円盤領域のベクトル和」として軌跡を捉える。 後半は、(1) で求めた範囲の境界上に $f(1+i)=0$ が位置することに着目し、絶対値の和の等号成立条件から $u, v$ を特定する。

解法1

(1)

$u = f(1) - 3$, $v = f(i) - 1$ とおく。 条件 $|f(1) - 3| \leqq 1$, $|f(i) - 1| \leqq 3$ より、

$$ |u| \leqq 1 \quad \cdots \textbf{(i)} $$

$$ |v| \leqq 3 \quad \cdots \textbf{(ii)} $$

である。 $f(1) = 1 + \alpha + \beta$、$f(i) = -1 + \alpha i + \beta$ であるから、

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = u + 2 \quad \cdots \textbf{(iii)} \\ \alpha i + \beta = v + 2 \quad \cdots \textbf{(iv)} \end{cases} $$

(iii)

$-$ （iv） より、

$$ \alpha(1 - i) = u - v \implies \alpha = \frac{u - v}{1 - i} $$

また、（iii） より $\beta = u + 2 - \alpha$ となる。 ここで、$u, v$ を任意に定めると $\alpha, \beta$ もただ1組定まるため、$u, v$ は条件 （i）, （ii） の下で互いに独立に動く。

求める値を $w = f(1+i)$ とおく。

$$ w = (1+i)^2 + \alpha(1+i) + \beta = 2i + \alpha(1+i) + \beta $$

これに $\beta = u + 2 - \alpha$ を代入すると、

$$ w = 2i + \alpha i + u + 2 $$

さらに $\alpha = \frac{u - v}{1 - i}$ を代入する。

$$ w = 2 + 2i + \frac{i(u - v)}{1 - i} + u $$

$\frac{i}{1 - i} = \frac{i(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{-1 + i}{2}$ であるから、

$$ w = 2 + 2i + \frac{-1 + i}{2}(u - v) + u = 2 + 2i + \frac{1 + i}{2} u + \frac{1 - i}{2} v $$

ここで、$w - (2+2i) = \frac{1 + i}{2} u + \frac{1 - i}{2} v$ と変形し、両辺の絶対値をとる。 三角不等式より、

$$ |w - (2+2i)| = \left| \frac{1 + i}{2} u + \frac{1 - i}{2} v \right| \leqq \left| \frac{1 + i}{2} u \right| + \left| \frac{1 - i}{2} v \right| $$

が成り立つ。 （i）, （ii） より、

$$ \left| \frac{1 + i}{2} u \right| = \left| \frac{1 + i}{2} \right| |u| = \frac{\sqrt{2}}{2} |u| \leqq \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ \left| \frac{1 - i}{2} v \right| = \left| \frac{1 - i}{2} \right| |v| = \frac{\sqrt{2}}{2} |v| \leqq \frac{3\sqrt{2}}{2} $$

であるから、

$$ |w - (2+2i)| \leqq \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $$

$u, v$ は独立かつ、円の境界上を含めてその内部を連続的に動くことができるため、$w$ は点 $2+2i$ を中心とする半径 $2\sqrt{2}$ の円の周および内部をすべて動く。 （なお、原点 $0$ と中心 $2+2i$ との距離は $|2+2i| = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$ であり、この円は原点を通る）

(2)

$f(1+i) = 0$、すなわち $w = 0$ のとき、（1） で導いた不等式に $w=0$ を代入すると、

$$ |-(2+2i)| \leqq \left| \frac{1 + i}{2} u \right| + \left| \frac{1 - i}{2} v \right| \leqq 2\sqrt{2} $$

左辺は $|-2-2i| = 2\sqrt{2}$ であり、両辺が一致するため、すべての不等式において等号が成立する。 等号成立条件は、以下の3つを同時に満たすことである。

1. $\left| \frac{1 + i}{2} u \right| = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies |u| = 1$
2. $\left| \frac{1 - i}{2} v \right| = \frac{3\sqrt{2}}{2} \implies |v| = 3$
3. 2つの複素数 $\frac{1 + i}{2} u$ と $\frac{1 - i}{2} v$ が、$w - (2+2i) = -2-2i$ と同方向のベクトルになること。

同方向であることから、それぞれのベクトルはその最大絶対値に比例する。すなわち、

$$ \frac{1 + i}{2} u = (-2-2i) \times \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{-2-2i}{4} = \frac{-1-i}{2} $$

$$ \frac{1 - i}{2} v = (-2-2i) \times \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{-6-6i}{4} = \frac{-3-3i}{2} $$

これらを解くと、

$$ \frac{1 + i}{2} u = -\frac{1 + i}{2} \implies u = -1 $$

$$ \frac{1 - i}{2} v = -3 \cdot \frac{1 + i}{2} \implies v = \frac{-3(1+i)}{1-i} = \frac{-3(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \frac{-6i}{2} = -3i $$

求めた $u, v$ を用いて $\alpha, \beta$ を計算する。

$$ \alpha = \frac{u - v}{1 - i} = \frac{-1 - (-3i)}{1 - i} = \frac{-1 + 3i}{1 - i} = \frac{(-1 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{-1 - i + 3i - 3}{2} = -2 + i $$

$$ \beta = u + 2 - \alpha = -1 + 2 - (-2 + i) = 3 - i $$

解説

複数の文字がそれぞれ不等式を満たしながら動くとき、1文字を固定して領域を広げていくのが定石だが、本問のように $|u| \leqq r_1, |v| \leqq r_2$ という円盤領域の1次結合 $z = au + bv + c$ の形に帰着できる場合、「ベクトル和の領域」として直感的に捉えるのが最も簡明である。 円盤と円盤のベクトル和は、それぞれの半径の和を新たな半径とする大きな円盤になる。

(2) は、(1) で描いた円盤のちょうど境界線上（原点）に $f(1+i)$ が来る条件を求める問題である。三角不等式の等号成立条件（2つのベクトルが同方向を向く）から、独立な各文字の値をピンポイントで逆算できるという美しい構造になっている。

答え

(1)

$f(1+i)$ がとりうる値の範囲は、点 $2+2i$ を中心とする半径 $2\sqrt{2}$ の円の周および内部。 図示は、中心を $(2, 2)$ とし、原点 $(0, 0)$ を通り、実軸と点 $(4, 0)$ で、虚軸と点 $(0, 4)$ で交わる円を描き、その境界線および内部を斜線等で塗りつぶしたものとなる（境界線を含む）。

(2)

$\alpha = -2+i, \quad \beta = 3-i$