数学C ド・モアブルの定理 問題 19 解説

方針・初手

分母を極形式で見て、複素数全体を極形式に直してから $8$ 乗する。絶対値と偏角を分けて処理すると、計算が最も短い。

解法1

まず

$$ \sqrt{3}+i $$

の絶対値と偏角を求める。

$$ |\sqrt{3}+i|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2 $$

また、実部が正、虚部が正で

$$ \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

より、

$$ \sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right) $$

である。

一方、$-\sqrt{2}$ は負の実数なので、

$$ -\sqrt{2}=\sqrt{2}\left(\cos \pi+i\sin \pi\right) $$

と表せる。したがって、

$$ \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left\{ \cos\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right) +i\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right) \right\} $$

すなわち

$$ \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \cos \frac{5\pi}{6} +i\sin \frac{5\pi}{6} \right) $$

である。

これを $8$ 乗すると、ド・モアブルの定理より

$$ \left(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i}\right)^8 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^8 \left( \cos \frac{40\pi}{6} +i\sin \frac{40\pi}{6} \right) $$

ここで

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^8 = \frac{1}{16} $$

また

$$ \frac{40\pi}{6}=\frac{20\pi}{3} $$

であり、

$$ \frac{20\pi}{3}=6\pi+\frac{2\pi}{3} $$

だから、

$$ \cos \frac{20\pi}{3}+i\sin \frac{20\pi}{3} = \cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3} $$

である。よって

$$ \left(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i}\right)^8 = \frac{1}{16} \left( \cos \frac{2\pi}{3} +i\sin \frac{2\pi}{3} \right) $$

ここで

$$ \cos \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}, \qquad \sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

より、

$$ \left(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i}\right)^8 = \frac{1}{16} \left( -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = -\frac{1}{32}+\frac{\sqrt{3}}{32}i $$

したがって、

$$ a=-\frac{1}{32}, \qquad b=\frac{\sqrt{3}}{32} $$

である。

解説

この問題では、複素数の割り算をそのまま展開してから $8$ 乗すると計算量が多くなる。分母 $\sqrt{3}+i$ の偏角が $\frac{\pi}{6}$ とすぐ分かるため、極形式に直してド・モアブルの定理を使うのが自然である。

特に、分子 $-\sqrt{2}$ を偏角 $\pi$ の複素数として扱う点が重要である。偏角を

$$ \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6} $$

と処理すれば、あとは $8$ 倍した角を $2\pi$ の周期で整理するだけでよい。

答え

$$ a=-\frac{1}{32}, \qquad b=\frac{\sqrt{3}}{32} $$