名古屋大学 2024年 理系 第2問 解説

方針・初手

(1) は因数定理を用いて $P(z)$ を因数分解し、方程式を解きます。解の図示については、それぞれの解の実部と虚部に着目して位置関係を明らかにします。 (2) は直接 $Q(z)=0$ を解こうとするのではなく、$Q(z)$ と $P(z)$ の係数を比較します。$\alpha$ の極形式やド・モアブルの定理を活用して累乗を計算し、$Q(z) = P(\alpha z)$ という関係を見抜くことが鍵となります。 (3) は、(1)と(2)で求めた2つの方程式の解の集合を比較します。(1)より $P(z)=0$ の解の実部はすべて $1$ であることに着目し、$Q(z)=0$ の解のうち実部が $1$ になり得るものを探すことで、条件を絞り込みます。

解法1

(1)

$P(z) = z^3 - 3z^2 + (c+2)z - c$ に対して、$z = 1$ を代入すると $$P(1) = 1 - 3 + (c+2) - c = 0$$ となるため、因数定理より $P(z)$ は $z-1$ を因数に持ちます。

割り算を実行して因数分解すると、 $$P(z) = (z-1)(z^2 - 2z + c)$$ となります。

$P(z) = 0$ のとき、$z - 1 = 0$ または $z^2 - 2z + c = 0$ です。

$z^2 - 2z + c = 0$ について、二次方程式の解の公式を用いると $$z = 1 \pm \sqrt{1-c}$$

ここで、$c > 1$ という条件から $1-c < 0$ であるため、解は虚数解となります。虚数単位 $i$ を用いて表すと $$z = 1 \pm \sqrt{c-1}i$$

以上より、方程式 $P(z) = 0$ の解は $$z = 1, \quad 1 + \sqrt{c-1}i, \quad 1 - \sqrt{c-1}i$$

複素数平面上の図示については、これらの解はすべて実部が $1$ であり、虚部が $0, \sqrt{c-1}, -\sqrt{c-1}$ となります。したがって、実部が $1$ である直線上の3点であり、実軸上の点 $1$ と、実軸に関して対称な2点 $1 \pm \sqrt{c-1}i$ となります。

(2)

与えられた $\alpha$ を極形式で表します。 $$\alpha = \frac{1-i}{\sqrt{2}} = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

ド・モアブルの定理より、 $$\alpha^4 = \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) = -1$$ となります。この関係から、$\alpha^6 = -\alpha^2$ および $\alpha^7 = -\alpha^3$ が成り立ちます。

ここで、$P(\alpha z)$ を計算してみます。 $$\begin{aligned} P(\alpha z) &= (\alpha z)^3 - 3(\alpha z)^2 + (c+2)(\alpha z) - c \\ &= \alpha^3 z^3 - 3\alpha^2 z^2 + (c+2)\alpha z - c \end{aligned}$$

先ほどの $\alpha^3 = -\alpha^7$ と $-\alpha^2 = \alpha^6$ を代入すると、 $$P(\alpha z) = -\alpha^7 z^3 + 3\alpha^6 z^2 + (c+2)\alpha z - c$$ となり、これは $Q(z)$ と完全に一致します。 すなわち、$Q(z) = P(\alpha z)$ が成り立ちます。

したがって、$Q(z) = 0$ を解くことは、$P(\alpha z) = 0$ を解くことと同値です。(1)の結果を利用して、$\alpha z$ の値を求めます。 $$\alpha z = 1, \quad 1 + \sqrt{c-1}i, \quad 1 - \sqrt{c-1}i$$

ここで、$\frac{1}{\alpha}$ を計算しておきます。 $$\frac{1}{\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{1-i} = \frac{\sqrt{2}(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{\sqrt{2}(1+i)}{2} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$$

これを用いて、3つの解を求めます。 1つ目の解を $z_1$ とすると、 $$z_1 = 1 \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$$

2つ目の解を $z_2$ とすると、 $$\begin{aligned} z_2 &= (1 + \sqrt{c-1}i) \cdot \frac{1+i}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1 - \sqrt{c-1} + (1 + \sqrt{c-1})i \right) \\ &= \frac{1 - \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} + \frac{1 + \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}i \end{aligned}$$

3つ目の解を $z_3$ とすると、 $$\begin{aligned} z_3 &= (1 - \sqrt{c-1}i) \cdot \frac{1+i}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1 + \sqrt{c-1} + (1 - \sqrt{c-1})i \right) \\ &= \frac{1 + \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} + \frac{1 - \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}i \end{aligned}$$

これら3つの解の実部を比較します。 $$\operatorname{Re}(z_1) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \operatorname{Re}(z_2) = \frac{1 - \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}, \quad \operatorname{Re}(z_3) = \frac{1 + \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}$$

$c > 1$ より $\sqrt{c-1} > 0$ であるため、 $$\frac{1 - \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{1 + \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}$$ が成り立ちます。

よって、実部が最大となるものは $z_3$ であり、求める複素数は $$z = \frac{1 + \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} + \frac{1 - \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}i$$

(3)

$P(z) = 0$ と $Q(z) = 0$ が共通解 $\beta$ を持つとします。 $\beta$ は $P(z) = 0$ の解であるため、(1)よりその実部は必ず $1$ です。

同時に $\beta$ は $Q(z) = 0$ の解でもあるため、(2)で求めた $z_1, z_2, z_3$ のいずれかと一致しなければなりません。それぞれの実部が $1$ になり得るかを確認します。

(i) $\beta = z_1$ の場合 $\operatorname{Re}(z_1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 1$ であるため、不適です。

(ii) $\beta = z_2$ の場合 $\operatorname{Re}(z_2) = 1$ とすると、 $$\frac{1 - \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} = 1 \implies \sqrt{c-1} = 1 - \sqrt{2}$$ となりますが、左辺は $0$ 以上であり、右辺は負となるため矛盾します。よって不適です。

(iii) $\beta = z_3$ の場合 $\operatorname{Re}(z_3) = 1$ とすると、 $$\frac{1 + \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} = 1 \implies \sqrt{c-1} = \sqrt{2} - 1$$ これは $\sqrt{2} - 1 > 0$ を満たします。

両辺を2乗して $c$ を求めます。 $$c - 1 = (\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}$$ $$c = 4 - 2\sqrt{2}$$ $2\sqrt{2} = \sqrt{8} < \sqrt{9} = 3$ より、$4 - 2\sqrt{2} > 1$ となり、$c > 1$ の条件を満たします。

このとき、$z_3$ の虚部は $$\operatorname{Im}(z_3) = \frac{1 - \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} = \frac{1 - (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$$ となります。したがって、共通解は $\beta = 1 + (\sqrt{2} - 1)i$ です。

念のため、この $\beta$ が $P(z) = 0$ の解になっているか確認します。 $c = 4 - 2\sqrt{2}$ のとき、$P(z) = 0$ の解は $1$ と $1 \pm \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}i = 1 \pm (\sqrt{2} - 1)i$ となり、確かに $\beta$ を含んでいます。

解説

複素数平面と方程式の解に関する標準的な問題です。 最大の難所は (2) で $Q(z)$ と $P(z)$ の関係性に気づけるかどうかです。$Q(z)$ の係数に現れる $\alpha$ の高い累乗を見て、直接代入して計算するのは得策ではありません。ド・モアブルの定理を用いて $\alpha^4 = -1$ などの簡潔な関係式を導出し、多項式全体の構造を見比べることが重要です。

(3) では、2つの方程式の解を等置して計算するアプローチも可能ですが、(1)で求めた $P(z) = 0$ の解の実部がすべて $1$ であるという強い性質に着目すると、計算量を大幅に減らすことができます。「実部を比較する」という視点は、複素数の相等条件を扱う上で非常に有効です。

答え

(1) $$z = 1, \quad 1 + \sqrt{c-1}i, \quad 1 - \sqrt{c-1}i$$ 図示：複素数平面において、実部が $1$ である直線上の点であり、実軸上の点 $1$ と、実軸に関して対称な2点 $1 + \sqrt{c-1}i, 1 - \sqrt{c-1}i$ の計3点。

(2) $$z = \frac{1 + \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}} + \frac{1 - \sqrt{c-1}}{\sqrt{2}}i$$

(3) $$c = 4 - 2\sqrt{2}, \quad \beta = 1 + (\sqrt{2} - 1)i$$