数学C 平面ベクトル問題 7 解説

方針

まず $\angle BOA=\theta$ とおく。内積から $\cos\theta$ を表せば， $$ \sin^2\theta=1-\cos^2\theta $$ で (1) が出る。

次に，$\vec a=\overrightarrow{OA},\ \vec b=\overrightarrow{OB}$ として点 $D,E,F$ の位置ベクトルを求めれば， $\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DF}$ は $\vec a,\vec b$ の一次結合で表せる。面積比は行列式の係数比較で求める。

解答

(1)

内積の定義より $$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta $$ だから， $$ \cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}. $$ したがって $$ \begin{aligned} \sin^2\theta &=1-\cos^2\theta \\ &=1-\left(\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\right)^2 \\ &=\frac{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}{|\vec a|^2|\vec b|^2}. \end{aligned} $$

(2)

$\vec a=(a_1,a_2),\ \vec b=(b_1,b_2)$ とすると， $\triangle OAB$ の面積は $$ [OAB]=\frac12 |a_1b_2-a_2b_1|. $$

(3)

条件 $$ OD:DA=AE:EB=BF:FO=m:n $$ より， $$ \overrightarrow{OD}=\frac{m}{m+n}\vec a, \qquad \overrightarrow{OE}=\frac{n\vec a+m\vec b}{m+n}, \qquad \overrightarrow{OF}=\frac{n}{m+n}\vec b. $$

したがって $$ \begin{aligned} \overrightarrow{DE} &=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OD} \\ &=\frac{n\vec a+m\vec b}{m+n}-\frac{m\vec a}{m+n} \\ &=\frac{(n-m)\vec a+m\vec b}{m+n}, \end{aligned} $$ また $$ \begin{aligned} \overrightarrow{DF} &=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD} \\ &=\frac{n\vec b}{m+n}-\frac{m\vec a}{m+n} \\ &=\frac{-m\vec a+n\vec b}{m+n}. \end{aligned} $$

(4)

行列式の双線形性より， $$ \det(\alpha\vec a+\beta\vec b,\gamma\vec a+\delta\vec b) =(\alpha\delta-\beta\gamma)\det(\vec a,\vec b) $$ である。

ここで $$ \overrightarrow{DE} =\frac{n-m}{m+n}\vec a+\frac{m}{m+n}\vec b, \qquad \overrightarrow{DF} =-\frac{m}{m+n}\vec a+\frac{n}{m+n}\vec b $$ だから， $$ \begin{aligned} \det(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DF}) &= \left\{ \frac{n-m}{m+n}\cdot\frac{n}{m+n} -\frac{m}{m+n}\cdot\left(-\frac{m}{m+n}\right) \right\} \det(\vec a,\vec b) \\ &= \frac{m^2-mn+n^2}{(m+n)^2}\det(\vec a,\vec b). \end{aligned} $$

よって面積比は $$ \frac{[DEF]}{[OAB]} = \frac{\frac12|\det(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DF})|}{\frac12|\det(\vec a,\vec b)|} = \frac{m^2-mn+n^2}{(m+n)^2}. $$