数学C 平面ベクトル 問題 9 解説

方針・初手

点 $P,Q$ はそれぞれ $OA,OB$ 上の内分点なので、まず

$$ \overrightarrow{OP}=\alpha \vec a,\qquad \overrightarrow{OQ}=\beta \vec b $$

と表せる。

交点 $R$ は $AQ$ 上にも $BP$ 上にもあるので、$R$ をそれぞれの線分上の媒介変数で表し、$\vec a,\vec b$ の係数を比較する。

解法1

(1)

$R$ は線分 $AQ$ 上にあるから、実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} =(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OQ} =(1-s)\vec a+s\beta\vec b $$

と表せる。

また、$R$ は線分 $BP$ 上にもあるから、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} =(1-t)\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OP} =t\alpha\vec a+(1-t)\vec b $$

とも表せる。

したがって、$\vec a,\vec b$ の係数を比較して

$$ 1-s=\alpha t,\qquad s\beta=1-t $$

を得る。

第1式から

$$ t=\frac{1-s}{\alpha} $$

である。これを第2式に代入すると、

$$ s\beta =1-\frac{1-s}{\alpha} =\frac{\alpha-1+s}{\alpha} $$

となる。よって

$$ \alpha\beta s=\alpha-1+s $$

であり、

$$ s(\alpha\beta-1)=\alpha-1 $$

となるから、

$$ s=\frac{1-\alpha}{1-\alpha\beta} $$

である。

これを

$$ \overrightarrow{OR}=(1-s)\vec a+s\beta\vec b $$

に代入すると、

$$ 1-s =1-\frac{1-\alpha}{1-\alpha\beta} =\frac{\alpha-\alpha\beta}{1-\alpha\beta} =\frac{\alpha(1-\beta)}{1-\alpha\beta} $$

であり、また

$$ s\beta =\frac{\beta(1-\alpha)}{1-\alpha\beta} $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{OR} = \frac{\alpha(1-\beta)}{1-\alpha\beta}\vec a + \frac{\beta(1-\alpha)}{1-\alpha\beta}\vec b $$

である。

(2)

$S$ は直線 $OR$ 上にあるので、ある実数 $k$ を用いて

$$ \overrightarrow{OS}=k\overrightarrow{OR} $$

と表せる。

(1)より、

$$ \overrightarrow{OS} = k\left\{ \frac{\alpha(1-\beta)}{1-\alpha\beta}\vec a + \frac{\beta(1-\alpha)}{1-\alpha\beta}\vec b \right\} $$

である。

一方、$S$ は辺 $AB$ 上にあるから、$\vec a,\vec b$ の係数の和は $1$ でなければならない。したがって、

$$ k\left\{ \frac{\alpha(1-\beta)}{1-\alpha\beta} + \frac{\beta(1-\alpha)}{1-\alpha\beta} \right\}=1 $$

より、

$$ k\cdot \frac{\alpha(1-\beta)+\beta(1-\alpha)}{1-\alpha\beta}=1 $$

である。

よって

$$ k=\frac{1-\alpha\beta}{\alpha(1-\beta)+\beta(1-\alpha)} $$

となる。

したがって、

$$ \overrightarrow{OS} = \frac{\alpha(1-\beta)}{\alpha(1-\beta)+\beta(1-\alpha)}\vec a + \frac{\beta(1-\alpha)}{\alpha(1-\beta)+\beta(1-\alpha)}\vec b $$

である。

ここで、$S$ が辺 $AB$ を

$$ AS:SB=m:n $$

に内分するとき、

$$ \overrightarrow{OS} = \frac{n}{m+n}\vec a+\frac{m}{m+n}\vec b $$

と表される。

よって、$\vec a$ の係数が $SB$ に対応し、$\vec b$ の係数が $AS$ に対応するから、

$$ AS:SB = \beta(1-\alpha):\alpha(1-\beta) $$

である。

解説

この問題では、三角形内の交点を扱っているが、座標を置く必要はない。$\overrightarrow{OA}=\vec a,\overrightarrow{OB}=\vec b$ を基底のように扱えば、点の位置は $\vec a,\vec b$ の係数で管理できる。

$R$ は $AQ$ と $BP$ の交点なので、同じ点を2通りに表して係数比較するのが最も自然である。

また、$S$ は $AB$ 上の点であるため、$\overrightarrow{OS}=x\vec a+y\vec b$ と表したとき $x+y=1$ になる。この条件を使って、直線 $OR$ 上の点を $AB$ 上まで伸ばすことができる。

最後の比では、係数と長さの対応を逆に見る点に注意する。すなわち、

$$ \overrightarrow{OS} = \frac{SB}{AB}\vec a+\frac{AS}{AB}\vec b $$

であるため、$\vec a$ の係数が $SB$、$\vec b$ の係数が $AS$ に対応する。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OR} = \frac{\alpha(1-\beta)}{1-\alpha\beta}\vec a + \frac{\beta(1-\alpha)}{1-\alpha\beta}\vec b $$

(2)

$$ AS:SB = \beta(1-\alpha):\alpha(1-\beta) $$