数学C 平面ベクトル 問題 14 解説

方針・初手

内分点の位置をベクトルで表す。$A_2,B_2,C_2$ の位置ベクトルを求めたあと、辺ベクトル $\vec{A_2B_2},\vec{B_2C_2},\vec{C_2A_2}$ を計算し、それぞれが $\vec{AB},\vec{BC},\vec{CA}$ の定数倍になることを示す。

解法1

「線分 $XY$ を $2:1$ に内分する点 $P$」とは、$XP:PY=2:1$ であることを表すものとする。

任意の原点 $O$ をとり、

$$ \vec{OA}=\mathbf a,\qquad \vec{OB}=\mathbf b,\qquad \vec{OC}=\mathbf c $$

とおく。

$A_1,B_1,C_1$ はそれぞれ $AB,BC,CA$ を $2:1$ に内分するから、

$$ \vec{OA_1}=\frac{\mathbf a+2\mathbf b}{3},\qquad \vec{OB_1}=\frac{\mathbf b+2\mathbf c}{3},\qquad \vec{OC_1}=\frac{\mathbf c+2\mathbf a}{3} $$

である。

次に、$A_2$ は $A_1B_1$ を $2:1$ に内分するので、

$$ \begin{aligned} \vec{OA_2} &=\frac{\vec{OA_1}+2\vec{OB_1}}{3} \\ &=\frac{1}{3}\left(\frac{\mathbf a+2\mathbf b}{3}+2\cdot \frac{\mathbf b+2\mathbf c}{3}\right) \\ &=\frac{\mathbf a+4\mathbf b+4\mathbf c}{9}. \end{aligned} $$

同様に、

$$ \begin{aligned} \vec{OB_2} &=\frac{\vec{OB_1}+2\vec{OC_1}}{3} \\ &=\frac{4\mathbf a+\mathbf b+4\mathbf c}{9}, \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \vec{OC_2} &=\frac{\vec{OC_1}+2\vec{OA_1}}{3} \\ &=\frac{4\mathbf a+4\mathbf b+\mathbf c}{9}. \end{aligned} $$

ここで、各辺ベクトルを計算する。

$$ \begin{aligned} \vec{A_2B_2} &=\vec{OB_2}-\vec{OA_2} \\ &=\frac{4\mathbf a+\mathbf b+4\mathbf c}{9} -\frac{\mathbf a+4\mathbf b+4\mathbf c}{9} \\ &=\frac{\mathbf a-\mathbf b}{3} \\ &=-\frac{1}{3}\vec{AB}. \end{aligned} $$

同様に、

$$ \begin{aligned} \vec{B_2C_2} &=\vec{OC_2}-\vec{OB_2} \\ &=\frac{\mathbf b-\mathbf c}{3} \\ &=-\frac{1}{3}\vec{BC}, \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \vec{C_2A_2} &=\vec{OA_2}-\vec{OC_2} \\ &=\frac{\mathbf c-\mathbf a}{3} \\ &=-\frac{1}{3}\vec{CA}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ A_2B_2=\frac{1}{3}AB,\qquad B_2C_2=\frac{1}{3}BC,\qquad C_2A_2=\frac{1}{3}CA $$

である。

よって、対応する3辺の比がすべて等しいので、三辺相似により

$$ \triangle A_2B_2C_2 \sim \triangle ABC $$

が成り立つ。

解説

この問題では、内分点を何度も作るため、角度を追うよりも位置ベクトルで処理するのが最も直接的である。

計算の結果、

$$ \vec{A_2B_2}=-\frac{1}{3}\vec{AB},\qquad \vec{B_2C_2}=-\frac{1}{3}\vec{BC},\qquad \vec{C_2A_2}=-\frac{1}{3}\vec{CA} $$

となる。負号は向きが反対であることを表すだけで、長さの比には影響しない。したがって、$\triangle A_2B_2C_2$ の3辺は $\triangle ABC$ の対応する3辺のそれぞれ $\frac{1}{3}$ 倍である。

答え

$$ \triangle A_2B_2C_2 \sim \triangle ABC $$

である。相似比は

$$ A_2B_2:AB=B_2C_2:BC=C_2A_2:CA=1:3 $$

である。