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数学C 平面ベクトル問題 20 解説

方針・初手

台形で $AB \parallel DC$ であることから、$\overrightarrow{AB}$ は $\vec{y}$ と同じ向きのベクトルである。

したがって

$$ \overrightarrow{AB}=k\vec{y} $$

とおき、条件 $CB=1$ を用いて $k$ を決める。交点 $P$ については、$P$ が $AC$ 上にも $BD$ 上にもあることを用いて、2通りに $\overrightarrow{AP}$ を表して係数を比較する。

解法1

(1)

$AD=DC=CB=1$ より、

$$ |\vec{x}|=|\vec{y}|=1 $$

である。また、$AB \parallel DC$ より、ある実数 $k$ を用いて

$$ \overrightarrow{AB}=k\vec{y} $$

と表せる。さらに $AB>1$ だから $k>1$ である。

点 $C$ から点 $B$ へのベクトルは

$$ \overrightarrow{CB} =\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB} =-(\vec{x}+\vec{y})+k\vec{y} =-\vec{x}+(k-1)\vec{y} $$

である。$CB=1$ より、

$$ \left|-\vec{x}+(k-1)\vec{y}\right|^2=1 $$

となる。これを展開すると、

$$ |\vec{x}|^2+(k-1)^2|\vec{y}|^2-2(k-1)\vec{x}\cdot\vec{y}=1 $$

であり、$|\vec{x}|=|\vec{y}|=1$ より

$$ 1+(k-1)^2-2(k-1)\vec{x}\cdot\vec{y}=1 $$

すなわち

$$ (k-1){(k-1)-2\vec{x}\cdot\vec{y}}=0 $$

である。$k>1$ だから $k-1\neq 0$ であり、

$$ k-1=2\vec{x}\cdot\vec{y} $$

となる。よって

$$ k=1+2\vec{x}\cdot\vec{y} $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{AB}=(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})\vec{y} $$

である。

(2)

$P$ は対角線 $AC$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AC}=t(\vec{x}+\vec{y}) $$

と表せる。

一方、$P$ は対角線 $BD$ 上にもある。(1) より

$$ \overrightarrow{AB}=(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})\vec{y} $$

であるから、点 $B$ の位置ベクトルを $A$ を基準に見ると

$$ \overrightarrow{AB}=(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})\vec{y} $$

であり、点 $D$ の位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{AD}=\vec{x} $$

である。したがって、$P$ が $BD$ 上にあることから、ある実数 $u$ を用いて

$$ \overrightarrow{AP} =(1-u)\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{AD} =(1-u)(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})\vec{y}+u\vec{x} $$

と表せる。

ここで

$$ t(\vec{x}+\vec{y}) =u\vec{x}+(1-u)(1+2\vec{x}\cdot\vec{y})\vec{y} $$

である。$\vec{x},\vec{y}$ の係数を比較すると、

$$ t=u $$

および

$$ t=(1-u)(1+2\vec{x}\cdot\vec{y}) $$

を得る。$u=t$ を代入して、

$$ t=(1-t)(1+2\vec{x}\cdot\vec{y}) $$

である。これを解くと、

$$ t=\frac{1+2\vec{x}\cdot\vec{y}}{2+2\vec{x}\cdot\vec{y}} $$

である。

よって

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1+2\vec{x}\cdot\vec{y}}{2+2\vec{x}\cdot\vec{y}}(\vec{x}+\vec{y}) $$

である。

(3)

$$ \vec{x}\cdot\vec{y}=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

とする。$|\vec{x}|=|\vec{y}|=1$ であるから、$\vec{x}$ と $\vec{y}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$$ \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

より、

$$ \theta=30^\circ $$

である。したがって

$$ |\vec{x}\times\vec{y}|=\sin30^\circ=\frac{1}{2} $$

である。

また、(1) より

$$ \overrightarrow{AB}=(1+\sqrt{3})\vec{y} $$

であり、(2) より

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}(\vec{x}+\vec{y}) $$

である。

よって、三角形 $ABP$ の面積は

$$ \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}\right| $$

である。これに代入すると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}\right| &= \frac{1}{2} \left| (1+\sqrt{3})\vec{y} \times \frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}(\vec{x}+\vec{y}) \right|\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{(1+\sqrt{3})^2}{2+\sqrt{3}} \left|\vec{y}\times\vec{x}\right|\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{(1+\sqrt{3})^2}{2+\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2}. \end{aligned} $$

ここで

$$ (1+\sqrt{3})^2=4+2\sqrt{3}=2(2+\sqrt{3}) $$

であるから、

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{(1+\sqrt{3})^2}{2+\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

となる。

したがって、三角形 $ABP$ の面積は

$$ \frac{1}{2} $$

である。

解説

この問題では、まず $AB \parallel DC$ から $\overrightarrow{AB}$ が $\vec{y}$ の実数倍であることに気づくのが重要である。

そのうえで、未知の倍率 $k$ を置き、$CB=1$ をベクトルの長さの条件として処理する。ここで $AB>1$ があるため、$k=1$ の可能性を除外できる。

対角線の交点 $P$ については、$P$ が $AC$ 上にあることと $BD$ 上にあることを同時に用いる。特に、$\overrightarrow{AP}=t(\vec{x}+\vec{y})$ とおいてから、$BD$ 上での表し方と係数比較するのが自然である。

面積は、2つのベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}$ が作る平行四辺形の面積の半分として求める。$\vec{x}\cdot\vec{y}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ からなす角が $30^\circ$ と分かるため、外積の大きさを使えば計算が短くなる。