数学C 平面ベクトル 問題 21 解説

方針・初手

直線の傾きを $m$ とおき、$x$ 軸・$y$ 軸との交点 $P,Q$ の座標を求める。ベクトルの等式は位置ベクトルの等式なので、点 $R$ の座標を $m$ で表し、最後に $m$ を消去する。

解法1

直線 $l$ は点 $A(1,2)$ を通り、$x$ 軸と $y$ 軸の両方と交わるので、傾き $m$ は $0$ でない。したがって

$$ l:y-2=m(x-1) \quad (m\ne 0) $$

とおける。

$x$ 軸との交点 $P$ は $y=0$ を代入して

$$ 0-2=m(x-1) $$

より

$$ x=1-\frac{2}{m} $$

である。よって

$$ P\left(1-\frac{2}{m},0\right) $$

である。

また、$y$ 軸との交点 $Q$ は $x=0$ を代入して

$$ y-2=m(0-1) $$

より

$$ y=2-m $$

である。よって

$$ Q(0,2-m) $$

である。

点 $R$ の座標を $R(X,Y)$ とする。条件

$$ \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OR} $$

より

$$ \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR} &= \left(1-\frac{2}{m},0\right)+(0,2-m)-(1,2)\\ &= \left(-\frac{2}{m},-m\right) \end{aligned} $$

となる。よって

$$ R\left(-\frac{2}{m},-m\right) $$

である。

ここで

$$ X=-\frac{2}{m}, \quad Y=-m $$

だから、$m$ を消去すると

$$ XY=\left(-\frac{2}{m}\right)(-m)=2 $$

である。したがって

$$ Y=\frac{2}{X} $$

となる。

また、$m\ne0$ であるから $X\ne0$ である。逆に、任意の $X\ne0$ に対して $m=-\dfrac{2}{X}$ とすれば、その傾きの直線によって対応する点 $R$ が得られる。

したがって、点 $R$ は

$$ y=\frac{2}{x} $$

のグラフ上にある。

解法2

$x$ 軸との交点を $P(a,0)$、$y$ 軸との交点を $Q(0,b)$ とする。

まず、直線 $l$ が原点を通らない場合を考える。このとき $a,b$ はともに $0$ でなく、直線 $l$ は切片形で

$$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $$

と表される。点 $A(1,2)$ を通るので

$$ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1 $$

が成り立つ。

一方、条件

$$ \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OR} $$

より

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR} &= (a,0)+(0,b)-(1,2)\\ &= (a-1,b-2) \end{aligned} $$

である。よって点 $R$ の座標を $R(X,Y)$ とすると

$$ X=a-1,\quad Y=b-2 $$

であり、

$$ a=X+1,\quad b=Y+2 $$

である。

これを

$$ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1 $$

に代入すると

$$ \frac{1}{X+1}+\frac{2}{Y+2}=1 $$

である。両辺に $(X+1)(Y+2)$ をかけると

$$ Y+2+2X+2=(X+1)(Y+2) $$

である。右辺を展開して整理すると

$$ Y+2X+4=XY+2X+Y+2 $$

より

$$ XY=2 $$

を得る。したがって

$$ Y=\frac{2}{X} $$

である。

次に、直線 $l$ が原点を通る場合は $P=Q=O$ である。このとき条件は

$$ \overrightarrow{0}+\overrightarrow{0} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OR} $$

となるので

$$ \overrightarrow{OR}=-\overrightarrow{OA}=(-1,-2) $$

である。よって $R(-1,-2)$ となり、この場合も

$$ (-1)(-2)=2 $$

を満たす。

したがって、いずれの場合も点 $R$ は

$$ y=\frac{2}{x} $$

のグラフ上にある。

解説

この問題の中心は、ベクトルの等式を座標の等式として処理することである。

直線の傾き $m$ を使うと、$P,Q$ の座標がすぐに求まり、点 $R$ は

$$ R\left(-\frac{2}{m},-m\right) $$

と表される。ここで $m$ を消去すれば、傾きに依存しない関係式

$$ xy=2 $$

が得られる。

切片形を用いる解法では、点 $R$ の座標が切片から $1,2$ だけずれた点として見えるため、計算の見通しがよい。ただし、直線が原点を通る場合は切片形で扱えないので、別に確認する必要がある。

答え

$$ f(x)=\frac{2}{x}\quad (x\ne0) $$