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数学C 平面ベクトル問題 24 解説

方針・初手

内分点は位置ベクトルの公式で処理する。また、$\angle POQ$ が直角であることは、$\vec{OP}$ と $\vec{OQ}$ の内積が $0$ であることに置き換える。

解法1

点 $A(-2,1), B(6,2)$ より、

$$ \vec{OA}=(-2,1),\qquad \vec{OB}=(6,2) $$

である。

まず、点 $C$ は線分 $AB$ を $s:1-s$ に内分するので、$AC:CB=s:1-s$ と考えると、

$$ \vec{OC}=(1-s)\vec{OA}+s\vec{OB} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \vec{OC} &=(1-s)(-2,1)+s(6,2)\\ &=(-2+2s,1-s)+(6s,2s)\\ &=(-2+8s,1+s) \end{aligned} $$

となる。

次に、

$$ \vec{OP}=\vec{OA}+t\vec{OB} $$

より、

$$ \begin{aligned} \vec{OP} &=(-2,1)+t(6,2)\\ &=(-2+6t,1+2t) \end{aligned} $$

である。また、

$$ \vec{OQ}=\vec{OB}+t\vec{OA} $$

より、

$$ \begin{aligned} \vec{OQ} &=(6,2)+t(-2,1)\\ &=(6-2t,2+t) \end{aligned} $$

である。

$\angle POQ$ が直角となる条件は、

$$ \vec{OP}\cdot \vec{OQ}=0 $$

であるから、

$$ (-2+6t)(6-2t)+(1+2t)(2+t)=0 $$

を解けばよい。

左辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} (-2+6t)(6-2t)+(1+2t)(2+t) &=(-12+40t-12t^2)+(2+5t+2t^2)\\ &=-10+45t-10t^2 \end{aligned} $$

である。よって、

$$ -10+45t-10t^2=0 $$

すなわち、

$$ 2t^2-9t+2=0 $$

を得る。これを解くと、

$$ t=\frac{9\pm \sqrt{65}}{4} $$

である。

ただし $0\leqq t\leqq 1$ より、

$$ t=\frac{9-\sqrt{65}}{4} $$

である。

最後に、この $t$ に対して、線分 $AB$ と線分 $OP$ の交点を求める。

線分 $AB$ 上の点は、(1)より

$$ (-2+8s,1+s) $$

と表せる。また、線分 $OP$ 上の点は、実数 $\lambda$ を用いて

$$ \lambda \vec{OP} =\lambda(-2+6t,1+2t) $$

と表せる。

交点では両者が一致するので、

$$ (-2+8s,1+s)=\lambda(-2+6t,1+2t) $$

である。成分を比較して、

$$ \begin{cases} -2+8s=\lambda(-2+6t)\\ 1+s=\lambda(1+2t) \end{cases} $$

を得る。

第2式より、

$$ \lambda=\frac{1+s}{1+2t} $$

である。これを第1式へ代入すると、

$$ (-2+8s)(1+2t)=(1+s)(-2+6t) $$

となる。

展開して整理すると、

$$ \begin{aligned} (-2+8s)(1+2t)&=(1+s)(-2+6t)\\ -2-4t+8s+16st&=-2+6t-2s+6st\\ 10s+10st-10t&=0\\ s(1+t)&=t \end{aligned} $$

よって、

$$ s=\frac{t}{1+t} $$

である。

したがって交点の座標は、

$$ \begin{aligned} \left(-2+8s,1+s\right) &=\left(-2+\frac{8t}{1+t},1+\frac{t}{1+t}\right)\\ &=\left(\frac{-2+6t}{1+t},\frac{1+2t}{1+t}\right) \end{aligned} $$

である。

ここに

$$ t=\frac{9-\sqrt{65}}{4} $$

を代入する。

まず $x$ 座標は、

$$ \begin{aligned} \frac{-2+6t}{1+t} &=\frac{-2+6\cdot \frac{9-\sqrt{65}}{4}}{1+\frac{9-\sqrt{65}}{4}}\\ &=\frac{\frac{23-3\sqrt{65}}{2}}{\frac{13-\sqrt{65}}{4}}\\ &=\frac{2(23-3\sqrt{65})}{13-\sqrt{65}}\\ &=2-\frac{4\sqrt{65}}{13} \end{aligned} $$

である。

次に $y$ 座標は、

$$ \begin{aligned} \frac{1+2t}{1+t} &=\frac{1+2\cdot \frac{9-\sqrt{65}}{4}}{1+\frac{9-\sqrt{65}}{4}}\\ &=\frac{\frac{11-\sqrt{65}}{2}}{\frac{13-\sqrt{65}}{4}}\\ &=\frac{2(11-\sqrt{65})}{13-\sqrt{65}}\\ &=\frac{39-\sqrt{65}}{26} \end{aligned} $$

である。

よって、求める交点の座標は、

$$ \left(2-\frac{4\sqrt{65}}{13},\frac{39-\sqrt{65}}{26}\right) $$

である。