数学C 平面ベクトル 問題 23 解説

方針・初手

与えられた $|\vec a-\vec b|$ を2乗して、内積 $\vec a\cdot \vec b$ を求める。なす角の余弦は内積の定義から求める。

最後は $|\vec a+t\vec b|$ を直接扱うのではなく、2乗した $|\vec a+t\vec b|^2$ を $t$ の2次式として最小化する。

解法1

まず、

$$ |\vec a-\vec b|^2=(\vec a-\vec b)\cdot(\vec a-\vec b) $$

より、

$$ |\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2 $$

である。

条件から $|\vec a|=1,\ |\vec b|=3,\ |\vec a-\vec b|=\sqrt{6}$ なので、

$$ 6=1^2-2\vec a\cdot\vec b+3^2 $$

すなわち、

$$ 6=10-2\vec a\cdot\vec b $$

である。したがって、

$$ \vec a\cdot\vec b=2 $$

を得る。

次に、$\vec a$ と $\vec b$ のなす角を $\theta$ とすると、内積の定義より、

$$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta $$

である。よって、

$$ 2=1\cdot 3\cos\theta $$

となるから、

$$ \cos\theta=\frac{2}{3} $$

である。

最後に、$|\vec a+t\vec b|$ を最小にする実数 $t$ を求める。長さは常に $0$ 以上なので、$|\vec a+t\vec b|$ を最小にすることは、その2乗 $|\vec a+t\vec b|^2$ を最小にすることと同値である。

$$ \begin{aligned} |\vec a+t\vec b|^2 &=(\vec a+t\vec b)\cdot(\vec a+t\vec b)\\ &=|\vec a|^2+2t\vec a\cdot\vec b+t^2|\vec b|^2 \end{aligned} $$

ここに $|\vec a|=1,\ |\vec b|=3,\ \vec a\cdot\vec b=2$ を代入すると、

$$ |\vec a+t\vec b|^2=1+4t+9t^2 $$

となる。これを平方完成すると、

$$ 9t^2+4t+1 =9\left(t+\frac{2}{9}\right)^2+\frac{5}{9} $$

である。

したがって、$|\vec a+t\vec b|^2$ は

$$ t=-\frac{2}{9} $$

のとき最小となる。よって、$|\vec a+t\vec b|$ を最小にする実数 $t$ は

$$ t=-\frac{2}{9} $$

である。

解説

内積は、ベクトルの長さと差の長さが与えられているとき、

$$ |\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2 $$

から求めるのが基本である。

また、$|\vec a+t\vec b|$ の最小化では、絶対値の形のまま考えるより、2乗して $t$ の2次式にするのが自然である。$|\vec a+t\vec b|^2$ と $|\vec a+t\vec b|$ は同じ $t$ で最小になるため、平方完成によって最小となる $t$ を求められる。

答え

(1)

$$ \vec a\cdot\vec b=2 $$

(2)

$$ \cos\theta=\frac{2}{3} $$

(3)

$$ t=-\frac{2}{9} $$