数学C 平面ベクトル 問題 27 解説

方針・初手

$|\vec a+t\vec b|$ を最小にするには、長さそのものではなく、その2乗 $|\vec a+t\vec b|^2$ を最小にすればよい。

これは $t$ の2次関数になるので、平方完成または微分で最小値をとる $t$ を求める。

解法1

与えられたベクトルは

$$ \vec a=(11,23),\quad \vec b=(-2,-3) $$

であるから、

$$ \vec a+t\vec b=(11,23)+t(-2,-3)=(11-2t,23-3t) $$

となる。

したがって、その長さの2乗は

$$ \begin{aligned} |\vec a+t\vec b|^2 &=(11-2t)^2+(23-3t)^2 \\ &=121-44t+4t^2+529-138t+9t^2 \\ &=13t^2-182t+650 \end{aligned} $$

である。

$|\vec a+t\vec b|$ を最小にする $t$ は、$|\vec a+t\vec b|^2$ を最小にする $t$ と同じである。

よって、2次関数

$$ 13t^2-182t+650 $$

の最小を考えればよい。平方完成すると、

$$ \begin{aligned} 13t^2-182t+650 &=13\left(t^2-14t\right)+650 \\ &=13\left\{(t-7)^2-49\right\}+650 \\ &=13(t-7)^2+13 \end{aligned} $$

となる。

$13(t-7)^2+13$ は $(t-7)^2$ が最小、すなわち $0$ になるとき最小となる。

したがって、

$$ t=7 $$

である。

解法2

$|\vec a+t\vec b|$ が最小となるとき、ベクトル $\vec a+t\vec b$ は $\vec b$ に垂直になる。

これは、点 $\vec a$ から直線方向 $\vec b$ へ下ろした垂線の足を考えていることに対応する。

したがって、

$$ (\vec a+t\vec b)\cdot \vec b=0 $$

を解けばよい。

まず、

$$ \vec a\cdot \vec b=11\cdot(-2)+23\cdot(-3)=-22-69=-91 $$

また、

$$ |\vec b|^2=(-2)^2+(-3)^2=13 $$

である。

よって、

$$ (\vec a+t\vec b)\cdot \vec b=\vec a\cdot \vec b+t|\vec b|^2 $$

より、

$$ -91+13t=0 $$

となる。これを解いて、

$$ t=7 $$

である。

解説

この問題では、絶対値を直接扱うよりも、長さの2乗を考えるのが基本である。長さは常に $0$ 以上なので、$|\vec a+t\vec b|$ の最小化と $|\vec a+t\vec b|^2$ の最小化は同じ $t$ を与える。

また、幾何的には $\vec a+t\vec b$ が最短になるとき、そのベクトルは動く方向である $\vec b$ と垂直になる。この見方を使うと、内積の条件から短く解ける。

答え

$$ t=7 $$