数学C 平面ベクトル 問題 28 解説

方針・初手

ベクトルのなす角は内積で求める。条件 $|\vec{a}-\vec{b}|=1$ を2乗して、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めればよい。

解法1

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とする。ただし、$0\leqq \theta \leqq \pi$ である。

条件より

$$ |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|=1 $$

である。ここで、両辺を2乗して

$$ |\vec{a}-\vec{b}|^2=1 $$

を用いる。

左辺を内積で展開すると、

$$ |\vec{a}-\vec{b}|^2 =(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) =|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2 $$

である。したがって、

$$ 1=1-2\vec{a}\cdot\vec{b}+1 $$

より、

$$ 2\vec{a}\cdot\vec{b}=1 $$

すなわち

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2} $$

である。

一方、内積の定義より

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $$

である。$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ だから、

$$ \frac{1}{2}=1\cdot 1\cdot \cos\theta $$

となり、

$$ \cos\theta=\frac{1}{2} $$

を得る。

$0\leqq\theta\leqq\pi$ であるから、

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

である。

解法2

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|=1$ であるから、始点をそろえた2つのベクトル $\vec{a},\vec{b}$ の終点をそれぞれ $A,B$ とすると、原点を $O$ として

$$ OA=OB=AB=1 $$

である。

したがって、三角形 $OAB$ は正三角形である。よって、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $\angle AOB$ に等しいので、

$$ \angle AOB=60^\circ $$

である。

したがって、

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

である。

解説

条件 $|\vec{a}-\vec{b}|$ は、2つのベクトルの終点間の距離を表している。したがって、図形的には正三角形と見ることもできる。

ただし、計算で確実に処理するなら、$|\vec{a}-\vec{b}|^2$ を内積で展開するのが基本である。なす角を求める問題では、まず $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求め、そこから $\cos\theta$ に結びつける流れが典型である。

答え

$$ \frac{\pi}{3} $$

すなわち、

$$ 60^\circ $$