数学C 平面ベクトル 問題 32 解説

方針・初手

垂線の足 $H$ により、三角形 $OBH$ と三角形 $ABH$ は直角三角形になる。まず三角比で $BH,OH,AH$ を表し、その後に三平方の定理を用いて $c^2$ を計算する。

解法1

(1)

$\angle AOB=\theta$ であり、$H$ は $B$ から $OA$ に下ろした垂線の足であるから、三角形 $OBH$ は $H$ を直角とする直角三角形である。

したがって、$OB=b$ より

$$ OH=b\cos\theta $$

$$ BH=b\sin\theta $$

である。

また、鋭角三角形であるから $H$ は線分 $OA$ 上にあり、$OA=a$ である。よって

$$ AH=OA-OH=a-b\cos\theta $$

である。

(2)

三角形 $ABH$ は $H$ を直角とする直角三角形である。したがって三平方の定理より

$$ AB^2=AH^2+BH^2 $$

である。

$AB=c$ なので、

$$ c^2=AH^2+BH^2 $$

である。

(3)

(1)

で求めた

$$ BH=b\sin\theta,\qquad AH=a-b\cos\theta $$

を (2) の式に代入する。

$$ \begin{aligned} c^2 &=AH^2+BH^2\\ &=(a-b\cos\theta)^2+(b\sin\theta)^2\\ &=a^2-2ab\cos\theta+b^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta\\ &=a^2-2ab\cos\theta+b^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) \end{aligned} $$

ここで

$$ \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 $$

であるから、

$$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta $$

が得られる。

よって、余弦定理

$$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta $$

が導かれた。

(4)

ベクトル $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の内積を

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\theta $$

と定義する。

ここで

$$ \overrightarrow{OA}=(p,q),\qquad \overrightarrow{OB}=(r,s) $$

とする。

このとき

$$ |\overrightarrow{OA}|^2=p^2+q^2 $$

$$ |\overrightarrow{OB}|^2=r^2+s^2 $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ &= (r-p,s-q) \end{aligned} $$

より、

$$ |\overrightarrow{AB}|^2=(r-p)^2+(s-q)^2 $$

である。

余弦定理より

$$ |\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{OB}|^2 -2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\theta $$

である。したがって、

$$ |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\theta = \frac{|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{OB}|^2-|\overrightarrow{AB}|^2}{2} $$

となる。

内積の定義より、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = \frac{|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{OB}|^2-|\overrightarrow{AB}|^2}{2} $$

である。これに座標表示を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} &= \frac{(p^2+q^2)+(r^2+s^2)-{(r-p)^2+(s-q)^2}}{2}\\ &= \frac{p^2+q^2+r^2+s^2-(r^2-2pr+p^2+s^2-2qs+q^2)}{2}\\ &= \frac{2pr+2qs}{2}\\ &=pr+qs \end{aligned} $$

よって、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=pr+qs $$

が成り立つ。

解説

この問題の中心は、垂線の足 $H$ を使って三角形を直角三角形に分解することである。

$BH$ と $OH$ は三角形 $OBH$ における三角比からすぐに出る。一方、$AH$ は直接三角比で出すのではなく、$OA$ 全体から $OH$ を引くと自然に求まる。

余弦定理は、直角三角形 $ABH$ に三平方の定理を適用し、$AH=a-b\cos\theta$ と $BH=b\sin\theta$ を代入することで導かれる。最後に $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を使う点が計算上の要所である。

内積の座標表示 $pr+qs$ は、内積を長さと角度で定義したうえで、余弦定理によって座標計算へ変換することで示せる。つまり、幾何的な定義と座標計算の定義が一致することを確認している。

答え

(1)

$$ BH=b\sin\theta,\qquad OH=b\cos\theta,\qquad AH=a-b\cos\theta $$

(2)

$$ c^2=BH^2+AH^2 $$

(3)

$$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta $$

(4)

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\theta $$

と定義すると、

$$ \overrightarrow{OA}=(p,q),\qquad \overrightarrow{OB}=(r,s) $$

のとき

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=pr+qs $$

である。