数学C 平面ベクトル 問題 33 解説

方針・初手

点 $P$ は $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{BC}$ を満たすので、まず $\overrightarrow{BC}$ を求め、$P$ の座標を $t$ で表す。

その後、$t$ を消去して $P$ の軌跡の直線を求める。距離は、$P$ の軌跡が直線 $BC$ と平行であることを利用すると一定になる。

解法1

まず、

$$ \overrightarrow{BC}=(6-3,\ 3-2)=(3,1) $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{BC}=t(3,1)=(3t,t) $$

より、点 $P$ の座標は

$$ P=(4+3t,\ 6+t) $$

である。

ここで $P=(x,y)$ とおくと、

$$ x=4+3t,\qquad y=6+t $$

である。$t=y-6$ を $x=4+3t$ に代入すると、

$$ x=4+3(y-6)=3y-14 $$

となる。よって

$$ x-3y+14=0 $$

である。

したがって、点 $P$ は直線

$$ x+(-3y+14)=0 $$

上にあるので、

$$ [\セ]=-3y+14 $$

である。

次に、直線 $BC$ の方程式を求める。直線 $BC$ は点 $B(3,2)$、$C(6,3)$ を通り、方向ベクトルは $(3,1)$ であるから、法線ベクトルは $(1,-3)$ とできる。

よって直線 $BC$ は

$$ x-3y+k=0 $$

と表せる。点 $B(3,2)$ を代入すると、

$$ 3-6+k=0 $$

より $k=3$ である。したがって直線 $BC$ は

$$ x-3y+3=0 $$

である。

点 $P$ の軌跡 $x-3y+14=0$ は直線 $BC$ と平行であるから、点 $P$ と直線 $BC$ との距離は、点 $A(4,6)$ と直線 $BC$ との距離に等しい。

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{|4-3\cdot 6+3|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}} &= \frac{|-11|}{\sqrt{10}}\\ &= \frac{11}{\sqrt{10}} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ [\ソ]=\frac{11}{\sqrt{10}} $$

である。

次に、$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CP}|$ となる $t$ を求める。

まず、

$$ \overrightarrow{AB}=(3-4,\ 2-6)=(-1,-4) $$

より、

$$ |\overrightarrow{AB}|^2=(-1)^2+(-4)^2=17 $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{CP}=P-C=(4+3t-6,\ 6+t-3)=(3t-2,\ t+3) $$

であるから、

$$ |\overrightarrow{CP}|^2=(3t-2)^2+(t+3)^2 $$

である。条件 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CP}|$ より、平方して

$$ 17=(3t-2)^2+(t+3)^2 $$

となる。これを整理すると、

$$ 17=9t^2-12t+4+t^2+6t+9 $$

すなわち

$$ 10t^2-6t+13=17 $$

である。よって、

$$ 10t^2-6t-4=0 $$

となり、

$$ 5t^2-3t-2=0 $$

である。因数分解すると、

$$ (5t+2)(t-1)=0 $$

より、

$$ t=-\frac{2}{5},\ 1 $$

である。

したがって、

$$ [\タ]=-\frac{2}{5},\qquad [チ]=1 $$

である。

最後に、$\triangle PBC$ が直角三角形となる条件を調べる。直角となる可能性は、頂点 $B$、頂点 $C$、頂点 $P$ のいずれかである。

(i)

頂点 $B$ が直角のとき

このとき、

$$ \overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BC}=0 $$

である。

$$ \overrightarrow{BP}=P-B=(4+3t-3,\ 6+t-2)=(1+3t,\ 4+t) $$

であるから、

$$ (1+3t,\ 4+t)\cdot(3,1)=0 $$

より、

$$ 3(1+3t)+(4+t)=0 $$

である。したがって、

$$ 7+10t=0 $$

より、

$$ t=-\frac{7}{10} $$

である。

(ii)

頂点 $C$ が直角のとき

このとき、

$$ \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CP}=0 $$

である。

$$ \overrightarrow{CB}=B-C=(-3,-1) $$

であり、

$$ \overrightarrow{CP}=(3t-2,\ t+3) $$

だから、

$$ (-3,-1)\cdot(3t-2,\ t+3)=0 $$

である。よって、

$$ -3(3t-2)-(t+3)=0 $$

となる。整理すると、

$$ -9t+6-t-3=0 $$

すなわち

$$ 3-10t=0 $$

より、

$$ t=\frac{3}{10} $$

である。

(iii)

頂点 $P$ が直角のとき

このとき、

$$ \overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=0 $$

である。

$$ \overrightarrow{PB}=B-P=(-1-3t,\ -4-t) $$

また、

$$ \overrightarrow{PC}=C-P=(2-3t,\ -3-t) $$

であるから、

$$ (-1-3t)(2-3t)+(-4-t)(-3-t)=0 $$

となる。左辺を整理すると、

$$ 10t^2+4t+10=0 $$

すなわち

$$ 5t^2+2t+5=0 $$

である。この判別式は

$$ 2^2-4\cdot 5\cdot 5=-96<0 $$

であるから、実数解はない。

以上より、$\triangle PBC$ が直角三角形となるのは

$$ t=-\frac{7}{10},\ \frac{3}{10} $$

のときである。

したがって、

$$ [\ツ]=-\frac{7}{10},\qquad [テ]=\frac{3}{10} $$

である。

解説

点 $P$ は $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{BC}$ を満たすので、点 $A$ を通り、直線 $BC$ に平行な直線上を動く。そのため、点 $P$ と直線 $BC$ との距離は一定である。

直角三角形の判定では、どの頂点が直角になるかを分けて考える必要がある。内積が $0$ になる条件を、頂点 $B$、頂点 $C$、頂点 $P$ のそれぞれについて調べるのが確実である。

答え

$$ [\セ]=-3y+14 $$

$$ [\ソ]=\frac{11}{\sqrt{10}} $$

$$ [\タ]=-\frac{2}{5},\qquad [チ]=1 $$

$$ [\ツ]=-\frac{7}{10},\qquad [テ]=\frac{3}{10} $$