数学C 平面ベクトル 問題 36 解説

方針・初手

点 $O$ を原点とみなし、各点の位置ベクトルを用いて処理する。まず $O$ が中線 $AP$ を $2:1$ に内分することから、$O$ は三角形 $ABC$ の重心であることをベクトルで示す。その後、$2:1$ の内分公式を順に用いれば、$A_2,B_2,C_2$ の位置ベクトルが簡潔に求まる。

解法1

$P$ は辺 $BC$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{\vec b+\vec c}{2} $$

である。

また、$O$ は線分 $AP$ を $2:1$ に内分する点なので、$\overrightarrow{AO}$ と $\overrightarrow{OP}$ は同じ向きで、長さの比が $2:1$ である。よって

$$ \overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{OP} $$

である。

ここで $\overrightarrow{AO}=-\vec a$ だから、

$$ -\vec a=2\cdot \frac{\vec b+\vec c}{2} $$

となる。したがって

$$ \vec a+\vec b+\vec c=\vec 0 $$

が成り立つ。

次に、辺 $AB,BC,CA$ をそれぞれ $2:1$ に内分する点を $A_1,B_1,C_1$ とする。すなわち

$$ AA_1:A_1B=2:1,\quad BB_1:B_1C=2:1,\quad CC_1:C_1A=2:1 $$

である。

内分公式より、

$$ \overrightarrow{OA_1}=\frac{\vec a+2\vec b}{3} $$

$$ \overrightarrow{OB_1}=\frac{\vec b+2\vec c}{3} $$

$$ \overrightarrow{OC_1}=\frac{\vec c+2\vec a}{3} $$

である。

さらに、$A_2$ は線分 $A_1B_1$ を $2:1$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OA_2} = \frac{\overrightarrow{OA_1}+2\overrightarrow{OB_1}}{3} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA_2} &= \frac{1}{3} \left( \frac{\vec a+2\vec b}{3} + 2\cdot \frac{\vec b+2\vec c}{3} \right)\\ &= \frac{\vec a+4\vec b+4\vec c}{9}\\ &= \frac{\vec a+4(\vec b+\vec c)}{9} \end{aligned} $$

である。

ここで、すでに示した

$$ \vec a+\vec b+\vec c=\vec 0 $$

より、

$$ \vec b+\vec c=-\vec a $$

である。よって

$$ \overrightarrow{OA_2} = \frac{\vec a-4\vec a}{9} -\frac{1}{3}\vec a $$

となる。

同様に、

$$ \overrightarrow{OB_2} = \frac{\overrightarrow{OB_1}+2\overrightarrow{OC_1}}{3} $$

より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OB_2} &= \frac{1}{3} \left( \frac{\vec b+2\vec c}{3} + 2\cdot \frac{\vec c+2\vec a}{3} \right)\\ &= \frac{4\vec a+\vec b+4\vec c}{9}\\ &= -\frac{1}{3}\vec b \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{OC_2} = \frac{\overrightarrow{OC_1}+2\overrightarrow{OA_1}}{3} $$

より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OC_2} &= \frac{1}{3} \left( \frac{\vec c+2\vec a}{3} + 2\cdot \frac{\vec a+2\vec b}{3} \right)\\ &= \frac{4\vec a+4\vec b+\vec c}{9}\\ &= -\frac{1}{3}\vec c \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \overrightarrow{B_2C_2} = \overrightarrow{OC_2}-\overrightarrow{OB_2} -\frac{1}{3}\vec c+\frac{1}{3}\vec b \frac{\vec b-\vec c}{3} $$

である。

一方、$Q,R$ はそれぞれ $CA,AB$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{\vec c+\vec a}{2},\quad \overrightarrow{OR}=\frac{\vec a+\vec b}{2} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{QR} &= \overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}\\ &= \frac{\vec a+\vec b}{2}-\frac{\vec c+\vec a}{2}\\ &= \frac{\vec b-\vec c}{2} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \overrightarrow{B_2C_2} = \frac{2}{3}\overrightarrow{QR} $$

となるので、線分 $B_2C_2$ と線分 $QR$ は平行である。

最後に面積を考える。$P,Q,R$ は三角形 $ABC$ の各辺の中点であるから、三角形 $PQR$ は三角形 $ABC$ と相似で、相似比は $1:2$ である。よって

$$ [PQR]=\frac{1}{4}[ABC] $$

である。

いま $[PQR]=S$ だから、

$$ [ABC]=4S $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{OA_2}=-\frac{1}{3}\vec a,\quad \overrightarrow{OB_2}=-\frac{1}{3}\vec b,\quad \overrightarrow{OC_2}=-\frac{1}{3}\vec c $$

であるから、三角形 $A_2B_2C_2$ は三角形 $ABC$ を点 $O$ を中心として倍率 $-\frac{1}{3}$ で拡大した図形である。面積比は倍率の2乗なので、

$$ [A_2B_2C_2] = \left(\frac{1}{3}\right)^2[ABC] \frac{1}{9}[ABC] $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} [A_2B_2C_2] &= \frac{1}{9}\cdot 4S\\ &= \frac{4}{9}S \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の中心は、$O$ が中線 $AP$ を $2:1$ に内分する点、つまり三角形 $ABC$ の重心であることをベクトルで表す点にある。その結果、

$$ \vec a+\vec b+\vec c=\vec 0 $$

が得られ、以後の計算が大きく簡単になる。

特に重要なのは、$A_2,B_2,C_2$ の位置ベクトルが

$$ \overrightarrow{OA_2}=-\frac{1}{3}\vec a,\quad \overrightarrow{OB_2}=-\frac{1}{3}\vec b,\quad \overrightarrow{OC_2}=-\frac{1}{3}\vec c $$

とそろうことである。これにより、平行関係も面積比も一気に処理できる。

答え

(1)

$$ \vec a+\vec b+\vec c=\vec 0 $$

(2)

$$ \overrightarrow{OA_2}=-\frac{1}{3}\vec a $$

(3)

$$ \overrightarrow{B_2C_2}=\frac{\vec b-\vec c}{3},\quad \overrightarrow{QR}=\frac{\vec b-\vec c}{2} $$

より、線分 $B_2C_2$ と線分 $QR$ は平行である。

(4)

$$ [A_2B_2C_2]=\frac{4}{9}S $$