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数学C 平面ベクトル問題 35 解説

方針・初手

関係式を $\vec{OA}=\vec{a}$，$\vec{OB}=\vec{b}$，$\vec{OC}=\vec{c}$ で書き直す。外接円の半径が $\sqrt{8}$ であるから、

$$ |\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2=8 $$

を用いて内積を求める。

解法1

まず、

$$ \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=\vec{b}-\vec{a} $$

$$ \vec{BC}=\vec{OC}-\vec{OB}=\vec{c}-\vec{b} $$

である。与えられた関係式

$$ 24\vec{OA}+9\vec{AB}=8\vec{BC} $$

に代入すると、

$$ 24\vec{a}+9(\vec{b}-\vec{a})=8(\vec{c}-\vec{b}) $$

となる。整理して、

$$ 15\vec{a}+9\vec{b}=8\vec{c}-8\vec{b} $$

より、

$$ 15\vec{a}+17\vec{b}=8\vec{c} $$

である。したがって、

$$ \vec{b}=\frac{-15\vec{a}+8\vec{c}}{17} $$

である。

次に、$|\vec{b}|^2=8$ を用いる。

$$ \left|\frac{-15\vec{a}+8\vec{c}}{17}\right|^2=8 $$

より、

$$ |-15\vec{a}+8\vec{c}|^2=17^2\cdot 8 $$

である。左辺を展開すると、

$$ 225|\vec{a}|^2-240\vec{a}\cdot\vec{c}+64|\vec{c}|^2=289\cdot 8 $$

である。ここで $|\vec{a}|^2=|\vec{c}|^2=8$ だから、

$$ 225\cdot 8-240\vec{a}\cdot\vec{c}+64\cdot 8=289\cdot 8 $$

となる。すなわち、

$$ (225+64)\cdot 8-240\vec{a}\cdot\vec{c}=289\cdot 8 $$

であり、

$$ 240\vec{a}\cdot\vec{c}=0 $$

だから、

$$ \vec{a}\cdot\vec{c}=0 $$

である。

よって $\vec{OA}$ と $\vec{OC}$ は垂直であり、$\triangle OCA$ の面積は

$$ \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{c}|=\frac{1}{2}\sqrt{8}\sqrt{8}=4 $$

である。

続いて、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求める。

$$ \vec{b}=\frac{-15\vec{a}+8\vec{c}}{17} $$

より、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b} =\vec{a}\cdot\frac{-15\vec{a}+8\vec{c}}{17} =\frac{-15|\vec{a}|^2+8\vec{a}\cdot\vec{c}}{17} $$

である。$|\vec{a}|^2=8$，$\vec{a}\cdot\vec{c}=0$ を代入して、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b} =\frac{-15\cdot 8+8\cdot 0}{17} =-\frac{120}{17} $$

である。

同様に、

$$ \vec{b}\cdot\vec{c} =\frac{(-15\vec{a}+8\vec{c})\cdot\vec{c}}{17} =\frac{-15\vec{a}\cdot\vec{c}+8|\vec{c}|^2}{17} $$

だから、

$$ \vec{b}\cdot\vec{c} =\frac{-15\cdot 0+8\cdot 8}{17} =\frac{64}{17} $$

である。

最後に三角形 $ABC$ の面積を求める。$\vec{a}\perp\vec{c}$ なので、座標を

$$ \vec{a}=(\sqrt{8},0),\qquad \vec{c}=(0,\sqrt{8}) $$

とおいてよい。このとき、

$$ \vec{b} =\frac{-15\vec{a}+8\vec{c}}{17} =\left(-\frac{15\sqrt{8}}{17},\frac{8\sqrt{8}}{17}\right) $$

である。

したがって、

$$ \vec{AB}=\vec{b}-\vec{a} =\left(-\frac{32\sqrt{8}}{17},\frac{8\sqrt{8}}{17}\right) $$

また、

$$ \vec{AC}=\vec{c}-\vec{a} =(-\sqrt{8},\sqrt{8}) $$

である。よって三角形 $ABC$ の面積は、

$$ \frac{1}{2}\left| \begin{matrix} -\dfrac{32\sqrt{8}}{17} & \dfrac{8\sqrt{8}}{17}\\ -\sqrt{8} & \sqrt{8} \end{matrix} \right| $$

である。行列式を計算すると、

$$ \begin{aligned} \begin{vmatrix} -\dfrac{32\sqrt{8}}{17} & \dfrac{8\sqrt{8}}{17}\\ -\sqrt{8} & \sqrt{8} \end{vmatrix} &= -\frac{32\sqrt{8}}{17}\cdot\sqrt{8} -\frac{8\sqrt{8}}{17}\cdot(-\sqrt{8})\\ &= -\frac{32\cdot 8}{17}+\frac{8\cdot 8}{17}\\ &= -\frac{192}{17} \end{aligned} $$

であるから、面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot\frac{192}{17} =\frac{96}{17} $$

である。

解説

この問題の中心は、外接円の中心 $O$ を原点のように扱い、位置ベクトルで辺のベクトルを表すことである。

関係式を整理すると $\vec{b}$ が $\vec{a},\vec{c}$ で表せる。その後、$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{8}$ を使うと、$\vec{a}\cdot\vec{c}=0$ が導かれる。ここで $\vec{OA}$ と $\vec{OC}$ が垂直であることが分かるので、三角形 $OCA$ の面積もすぐに求まる。

三角形 $ABC$ の面積は、$\vec{a}$ と $\vec{c}$ が垂直であることを利用して座標化すると計算が最も単純である。