数学C 平面ベクトル 問題 45 解説

方針・初手

$\overrightarrow{AB}=\vec b,\ \overrightarrow{AC}=\vec c$ はともに長さ $1$ で、なす角は $60^\circ$ である。

$\vec p=x\vec b+y\vec c$ と表すとき、$\vec p$ が点 $A$ から見た点 $P$ の位置ベクトルであることを利用し、点 $P$ が三角形 $ABC$ の外接円上にある条件を式にする。

解法1

$\vec b,\vec c$ は

$$ |\vec b|=|\vec c|=1,\qquad \vec b\cdot \vec c=\cos 60^\circ=\frac12 $$

を満たす。

点 $P$ は外接円 $K$ 上にある。正三角形 $ABC$ の外接円は $A,B,C$ を通るので、点 $P$ がこの円上にある条件を、座標に直して考える。

$\vec b$ の向きを $x$ 軸正方向にとると、

$$ \vec b=(1,0),\qquad \vec c=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right) $$

とおける。

このとき

$$ \vec p=x\vec b+y\vec c $$

より、点 $P$ の直交座標を $(X,Y)$ とすると

$$ (X,Y)=x(1,0)+y\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right) =\left(x+\frac12y,\frac{\sqrt3}{2}y\right) $$

である。

正三角形 $ABC$ の頂点は

$$ A(0,0),\qquad B(1,0),\qquad C\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right) $$

である。この外接円の中心は

$$ \left(\frac12,\frac{\sqrt3}{6}\right) $$

で、半径は

$$ \frac1{\sqrt3} $$

である。

したがって、外接円 $K$ の方程式は

$$ \left(X-\frac12\right)^2+\left(Y-\frac{\sqrt3}{6}\right)^2=\frac13 $$

である。

ここに

$$ X=x+\frac12y,\qquad Y=\frac{\sqrt3}{2}y $$

を代入する。

$$ \left(x+\frac12y-\frac12\right)^2+ \left(\frac{\sqrt3}{2}y-\frac{\sqrt3}{6}\right)^2 =\frac13 $$

これを整理する。まず展開すると、

$$ \left(x+\frac12y\right)^2-\left(x+\frac12y\right)+\frac14 +\frac34y^2-\frac12y+\frac1{12} =\frac13 $$

ここで

$$ \frac14+\frac1{12}=\frac13 $$

であるから、定数項は右辺と打ち消し合う。よって

$$ \left(x+\frac12y\right)^2+\frac34y^2-x-\frac12y-\frac12y=0 $$

となる。

さらに整理して

$$ x^2+xy+y^2-x-y=0 $$

を得る。

したがって、$x,y$ が満たす方程式は

$$ x^2+xy+y^2-x-y=0 $$

である。

次に

$$ u=x+\frac12y,\qquad v=\frac{\sqrt3}{2}y $$

とおく。これは先ほどの直交座標 $(X,Y)$ そのものであるから、点 $(u,v)$ は外接円 $K$ 上を動く。

したがって、その軌跡は

$$ \left(u-\frac12\right)^2+\left(v-\frac{\sqrt3}{6}\right)^2=\frac13 $$

である。

解説

この問題では、$\vec b,\vec c$ が斜交基底である点に注意する必要がある。$\vec p=x\vec b+y\vec c$ の係数 $(x,y)$ はそのまま直交座標ではない。

しかし

$$ \vec b=(1,0),\qquad \vec c=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right) $$

とおけば、

$$ (u,v)=\left(x+\frac12y,\frac{\sqrt3}{2}y\right) $$

は点 $P$ の通常の直交座標そのものになる。

したがって、(1) は外接円の方程式を斜交座標 $(x,y)$ に直したもの、(2) はそれを直交座標 $(u,v)$ に戻したものと見るとよい。

答え

(1)

$$ x^2+xy+y^2-x-y=0 $$

(2)

$$ \left(u-\frac12\right)^2+\left(v-\frac{\sqrt3}{6}\right)^2=\frac13 $$

すなわち、中心

$$ \left(\frac12,\frac{\sqrt3}{6}\right) $$

半径

$$ \frac1{\sqrt3} $$

の円である。