数学C 平面ベクトル 問題 46 解説

方針・初手

$\overrightarrow{CA}$ と $\overrightarrow{CB}$ を基準ベクトルとして扱う。まず余弦定理ではなく、差のベクトル

$$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA} $$

を用いて内積を求める。その後、外心 $O$ の性質「$OC=OA=OB$」を内積条件に直して、$\overrightarrow{CO}=a\overrightarrow{CA}+b\overrightarrow{CB}$ の係数を決定する。

解法1

$\overrightarrow{CA}=\mathbf{u}$，$\overrightarrow{CB}=\mathbf{v}$ とおく。このとき

$$ |\mathbf{u}|=CA=2,\qquad |\mathbf{v}|=CB=3 $$

である。また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\\ &= \mathbf{v}-\mathbf{u} \end{aligned} $$

だから、

$$ |\mathbf{v}-\mathbf{u}|=AB=4 $$

である。よって

$$ |\mathbf{v}-\mathbf{u}|^2 = |\mathbf{v}|^2+|\mathbf{u}|^2-2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} $$

より、

$$ 16=9+4-2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} $$

となる。したがって

$$ 2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-3 $$

より、

$$ \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-\frac{3}{2} $$

である。すなわち、

$$ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} = -\frac{3}{2} $$

である。

次に、

$$ \overrightarrow{CO}=a\overrightarrow{CA}+b\overrightarrow{CB} $$

とおく。すなわち

$$ \overrightarrow{CO}=a\mathbf{u}+b\mathbf{v} $$

である。

$O$ は外心であるから

$$ OC=OA=OB $$

が成り立つ。まず $OC=OA$ より、

$$ |\overrightarrow{CO}|=|\overrightarrow{AO}| $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AO} &= \overrightarrow{CO}-\overrightarrow{CA}\\ &= (a\mathbf{u}+b\mathbf{v})-\mathbf{u} \end{aligned} $$

だから、

$$ |\overrightarrow{CO}|^2=|\overrightarrow{CO}-\mathbf{u}|^2 $$

となる。両辺を展開すると、

$$ |\overrightarrow{CO}|^2 = |\overrightarrow{CO}|^2 -2\overrightarrow{CO}\cdot\mathbf{u} +|\mathbf{u}|^2 $$

であるから、

$$ 2\overrightarrow{CO}\cdot\mathbf{u}=|\mathbf{u}|^2 $$

となる。$|\mathbf{u}|=2$ より、

$$ \overrightarrow{CO}\cdot\mathbf{u}=2 $$

である。

同様に、$OC=OB$ より

$$ |\overrightarrow{CO}|^2=|\overrightarrow{CO}-\mathbf{v}|^2 $$

だから、

$$ 2\overrightarrow{CO}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{v}|^2 $$

となる。$|\mathbf{v}|=3$ より、

$$ \overrightarrow{CO}\cdot\mathbf{v}=\frac{9}{2} $$

である。

ここで

$$ \overrightarrow{CO}=a\mathbf{u}+b\mathbf{v} $$

を代入する。まず、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CO}\cdot\mathbf{u} &= (a\mathbf{u}+b\mathbf{v})\cdot\mathbf{u}\\ &= a|\mathbf{u}|^2+b(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}) \end{aligned} $$

であるから、

$$ 4a-\frac{3}{2}b=2 $$

となる。また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CO}\cdot\mathbf{v} &= (a\mathbf{u}+b\mathbf{v})\cdot\mathbf{v}\\ &= a(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})+b|\mathbf{v}|^2 \end{aligned} $$

であるから、

$$ -\frac{3}{2}a+9b=\frac{9}{2} $$

となる。

したがって連立方程式

$$ \begin{cases} 4a-\dfrac{3}{2}b=2,\\ -\dfrac{3}{2}a+9b=\dfrac{9}{2} \end{cases} $$

を解けばよい。両式を $2$ 倍して、

$$ \begin{cases} 8a-3b=4,\\ -3a+18b=9 \end{cases} $$

となる。第1式から

$$ b=\frac{8a-4}{3} $$

である。これを第2式に代入すると、

$$ -3a+18\cdot\frac{8a-4}{3}=9 $$

すなわち

$$ -3a+6(8a-4)=9 $$

である。よって

$$ 45a-24=9 $$

となり、

$$ a=\frac{11}{15} $$

を得る。これを

$$ b=\frac{8a-4}{3} $$

に代入して、

$$ b = \frac{8\cdot\dfrac{11}{15}-4}{3} \frac{\dfrac{88}{15}-\dfrac{60}{15}}{3} \frac{28}{45} $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{CO} = \frac{11}{15}\overrightarrow{CA} + \frac{28}{45}\overrightarrow{CB} $$

である。

解説

外心を扱う問題では、座標を置くよりも「等距離条件」を内積で表すと処理しやすい。

特に

$$ |\overrightarrow{CO}|^2=|\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{CA}|^2 $$

から

$$ \overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}|^2 $$

が出る点が重要である。同様に、

$$ \overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{CB} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{CB}|^2 $$

も得られる。

この2つの条件により、$\overrightarrow{CO}=a\overrightarrow{CA}+b\overrightarrow{CB}$ の係数 $a,b$ が連立一次方程式で決まる。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} = -\frac{3}{2} $$

(2)

$$ a=\frac{11}{15},\qquad b=\frac{28}{45} $$