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数学C 平面ベクトル問題 47 解説

方針・初手

まず $|\vec a-\vec b|^2$ を内積で表し、$\vec a\cdot \vec b$、すなわち $\cos\theta$ の範囲に直す。

次に、$\vec c,\vec d$ を $\vec a,\vec b$ で表し、$\vec c\cdot\vec d$ を $\vec a\cdot\vec b$ の一次式として求める。

解法1

$\vec a$ と $\vec b$ のなす角を $\theta$ とすると、

$$ \vec a\cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=2\cos\theta $$

である。

また、

$$ |\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b $$

より、

$$ |\vec a-\vec b|^2=4+1-2\cdot 2\cos\theta=5-4\cos\theta $$

である。条件 $|\vec a-\vec b|\leqq \sqrt 8$ より、

$$ 5-4\cos\theta\leqq 8 $$

したがって、

$$ -4\cos\theta\leqq 3 $$

となるから、

$$ \cos\theta\geqq -\frac34 $$

である。

$0\leqq \theta\leqq \pi$ において $\cos\theta$ は単調減少するので、

$$ 0\leqq \theta\leqq \cos^{-1}\left(-\frac34\right) $$

を得る。

次に、

$$ \vec a=4\vec c-3\vec d,\qquad \vec b=3\vec c-2\vec d $$

から $\vec c,\vec d$ を $\vec a,\vec b$ で表す。

まず、

$$ \vec a-\vec b=(4\vec c-3\vec d)-(3\vec c-2\vec d)=\vec c-\vec d $$

である。

また、連立式を直接消去すると、

$$ \begin{aligned} \vec c&=3\vec b-2\vec a,\\ \vec d&=4\vec b-3\vec a \end{aligned} $$

となる。実際、

$$ 4\vec c-3\vec d =4(3\vec b-2\vec a)-3(4\vec b-3\vec a) =\vec a $$

かつ、

$$ 3\vec c-2\vec d =3(3\vec b-2\vec a)-2(4\vec b-3\vec a) =\vec b $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} \vec c\cdot\vec d &=(3\vec b-2\vec a)\cdot(4\vec b-3\vec a)\\ &=12|\vec b|^2-9\vec a\cdot\vec b-8\vec a\cdot\vec b+6|\vec a|^2\\ &=12\cdot 1-17\vec a\cdot\vec b+6\cdot 4\\ &=36-17\vec a\cdot\vec b \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ \vec a\cdot\vec b=2\cos\theta $$

であり、(1)より

$$ -\frac34\leqq \cos\theta\leqq 1 $$

であるから、

$$ -\frac32\leqq \vec a\cdot\vec b\leqq 2 $$

となる。

したがって、$\vec c\cdot\vec d=36-17\vec a\cdot\vec b$ は $\vec a\cdot\vec b$ について減少する一次式なので、

$$ 36-17\cdot 2\leqq \vec c\cdot\vec d\leqq 36-17\left(-\frac32\right) $$

すなわち、

$$ 2\leqq \vec c\cdot\vec d\leqq \frac{123}{2} $$

である。

解説

この問題の中心は、距離条件 $|\vec a-\vec b|\leqq\sqrt8$ を角度条件に直すことである。ベクトルの大きさと内積の関係

$$ |\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b $$

を使えば、条件は $\cos\theta$ の不等式になる。

後半では、$\vec c,\vec d$ を直接扱うのではなく、まず $\vec c,\vec d$ を既知の $\vec a,\vec b$ で表すのが自然である。すると $\vec c\cdot\vec d$ は $\vec a\cdot\vec b$ の一次式になり、(1)で得た範囲をそのまま利用できる。