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数学C 平面ベクトル問題 50 解説

方針・初手

点の内分を位置ベクトルで表し、すべてを $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の一次結合に直す。

まず

$$ \vec a=\overrightarrow{OA},\qquad \vec b=\overrightarrow{OB} $$

とおく。条件より $|\vec a|=3,\ |\vec b|=4$ である。

解法1

点 $P$ は $OA$ を $1:2$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\vec a $$

である。

また、点 $Q$ は $OB$ を $3:2$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{3}{5}\vec b $$

である。

点 $R$ は $AQ$ を $5:1$ に内分するから、内分点の公式より

$$ \overrightarrow{OR} =\frac{1\cdot \overrightarrow{OA}+5\cdot \overrightarrow{OQ}}{5+1} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR} &=\frac{\vec a+5\cdot \frac{3}{5}\vec b}{6}\\ &=\frac{\vec a+3\vec b}{6} \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BR} &=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OB}\\ &=\frac{\vec a+3\vec b}{6}-\vec b\\ &=\frac{1}{6}\vec a-\frac{1}{2}\vec b \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{BR} =\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} $$

となる。

次に、点 $R$ が線分 $BP$ 上にあることを示す。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BP} &=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}\\ &=\frac{1}{3}\vec a-\vec b \end{aligned} $$

一方、

$$ \overrightarrow{BR} =\frac{1}{6}\vec a-\frac{1}{2}\vec b =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\vec a-\vec b\right) =\frac{1}{2}\overrightarrow{BP} $$

である。

したがって、$\overrightarrow{BR}$ は $\overrightarrow{BP}$ の正の定数倍であり、しかも係数が $\frac{1}{2}$ であるから、点 $R$ は線分 $BP$ 上にある。特に、$R$ は $BP$ の中点である。

最後に、$AQ\perp BP$ の条件を用いる。

$$ \overrightarrow{AQ} =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA} =\frac{3}{5}\vec b-\vec a $$

また、

$$ \overrightarrow{BP} =\frac{1}{3}\vec a-\vec b $$

である。$AQ\perp BP$ より、

$$ \overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{BP}=0 $$

だから、

$$ \left(\frac{3}{5}\vec b-\vec a\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\vec a-\vec b\right)=0 $$

となる。

ここで $\vec a\cdot\vec b=x$ とおく。$|\vec a|=3,\ |\vec b|=4$ より、

$$ \vec a\cdot\vec a=9,\qquad \vec b\cdot\vec b=16 $$

である。内積を展開すると、

$$ \begin{aligned} 0 &=\left(\frac{3}{5}\vec b-\vec a\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\vec a-\vec b\right)\\ &=\frac{1}{5}\vec a\cdot\vec b-\frac{3}{5}\vec b\cdot\vec b-\frac{1}{3}\vec a\cdot\vec a+\vec a\cdot\vec b\\ &=\frac{1}{5}x-\frac{3}{5}\cdot 16-\frac{1}{3}\cdot 9+x\\ &=\frac{6}{5}x-\frac{48}{5}-3\\ &=\frac{6}{5}x-\frac{63}{5} \end{aligned} $$

よって、

$$ \frac{6}{5}x=\frac{63}{5} $$

であるから、

$$ x=\frac{21}{2} $$

を得る。

したがって、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =\frac{21}{2} $$

である。

解説

内分点の問題では、まず基準点を $O$ にそろえて位置ベクトルで表すのが基本である。

この問題では、$P,Q,R$ の位置ベクトルを順に求めることで、$\overrightarrow{BR}$ が自然に求まる。また、$\overrightarrow{BR}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BP}$ と表せるため、点 $R$ が線分 $BP$ 上にあることも同時に示せる。

垂直条件は、対応するベクトルの内積が $0$ であることに言い換える。長さ $OA=3,\ OB=4$ から $\vec a\cdot\vec a=9,\ \vec b\cdot\vec b=16$ を代入すれば、未知数は $\vec a\cdot\vec b$ だけになる。