数学C 平面ベクトル 問題 51 解説

方針・初手

任意の自然数の組 $(m,n)$ について常に $AE\perp DF$ が成り立つ条件を調べる。比の条件から点 $D,E,F$ の位置ベクトルを表し、垂直条件を内積で式にする。

解法1

点 $A$ を原点とし、

$$ \overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\qquad \overrightarrow{AC}=\mathbf{c} $$

とおく。

$D,E,F$ はそれぞれ辺 $AB,BC,CA$ を $m:n$ に分ける点なので、

$$ D=\frac{m}{m+n}\mathbf{b} $$

である。また、$E$ は $BE:EC=m:n$ を満たすから、

$$ E=\frac{n\mathbf{b}+m\mathbf{c}}{m+n} $$

であり、$F$ は $CF:FA=m:n$ を満たすから、

$$ F=\frac{n\mathbf{c}}{m+n} $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{AE} = \frac{n\mathbf{b}+m\mathbf{c}}{m+n} $$

また、

$$ \overrightarrow{DF} = \frac{n\mathbf{c}-m\mathbf{b}}{m+n} $$

である。

条件 $AE\perp DF$ は

$$ \overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DF}=0 $$

と表せる。よって、

$$ (n\mathbf{b}+m\mathbf{c})\cdot(n\mathbf{c}-m\mathbf{b})=0 $$

である。これを展開すると、

$$ n^2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} -mn|\mathbf{b}|^2 +mn|\mathbf{c}|^2 -m^2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} =0 $$

すなわち、

$$ (n^2-m^2)\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} +mn\left(|\mathbf{c}|^2-|\mathbf{b}|^2\right)=0 $$

である。

この式がすべての自然数 $m,n$ について成り立つ。

まず $m=n$ とすると、第1項は $0$ になるので、

$$ mn\left(|\mathbf{c}|^2-|\mathbf{b}|^2\right)=0 $$

である。$m,n$ は自然数だから $mn\neq 0$ であり、

$$ |\mathbf{c}|^2=|\mathbf{b}|^2 $$

が得られる。したがって、

$$ AC=AB $$

である。

次に、$m\neq n$ となる自然数の組をとる。すでに $|\mathbf{c}|^2=|\mathbf{b}|^2$ が分かっているので、垂直条件の式は

$$ (n^2-m^2)\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0 $$

となる。ここで $m\neq n$ だから $n^2-m^2\neq 0$ である。よって、

$$ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0 $$

である。

これは

$$ \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC} $$

を意味する。したがって、

$$ AB=AC,\qquad \angle BAC=90^\circ $$

である。

逆に、$AB=AC$ かつ $\angle BAC=90^\circ$ ならば、

$$ |\mathbf{b}|^2=|\mathbf{c}|^2,\qquad \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0 $$

であるから、

$$ (n^2-m^2)\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} +mn\left(|\mathbf{c}|^2-|\mathbf{b}|^2\right)=0 $$

がすべての自然数 $m,n$ について成り立つ。よって、確かに常に $AE\perp DF$ となる。

解説

「どんな自然数の組 $(m,n)$ をとっても」という条件が強い。垂直条件を一度 $m,n$ の式に直すと、その式が恒等的に成り立つ必要がある。

特に $m=n$ を代入すると辺の長さの条件が出て、次に $m\neq n$ を代入すると内積が $0$ であることが出る。この2段階で、$AB=AC$ と $AB\perp AC$ が決まる。

答え

$\triangle ABC$ は、$A$ を直角とする直角二等辺三角形である。

すなわち、

$$ AB=AC,\qquad \angle BAC=90^\circ $$

である。