数学C 平面ベクトル 問題 53 解説

方針・初手

点 $P,Q$ の距離は、ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ の大きさとして求めればよい。

$\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}$ が $\vec a,\vec b$ で表されているので、まず

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} $$

を計算し、その大きさを内積で求める。

解法1

与えられた条件より、

$$ |\vec a|=2,\quad |\vec b|=3\sqrt{3},\quad \angle(\vec a,\vec b)=\frac{\pi}{6} $$

である。したがって、内積は

$$ \vec a\cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\frac{\pi}{6} =2\cdot 3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =9 $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{OP}=\vec a+2\vec b,\quad \overrightarrow{OQ}=-2\vec a+3\vec b $$

より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} \\ &= (-2\vec a+3\vec b)-(\vec a+2\vec b) \\ &= -3\vec a+\vec b \end{aligned} $$

である。

よって、求める距離 $PQ$ は

$$ PQ=|-3\vec a+\vec b| $$

である。両辺を2乗して計算すると、

$$ \begin{aligned} PQ^2 &= |-3\vec a+\vec b|^2 \\ &= (-3\vec a+\vec b)\cdot(-3\vec a+\vec b) \\ &= 9|\vec a|^2-6\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2 \end{aligned} $$

となる。

ここに $|\vec a|=2,\ |\vec b|=3\sqrt{3},\ \vec a\cdot\vec b=9$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} PQ^2 &= 9\cdot 2^2-6\cdot 9+(3\sqrt{3})^2 \\ &= 36-54+27 \\ &= 9 \end{aligned} $$

である。

距離は正であるから、

$$ PQ=3 $$

である。

解説

この問題では、点 $P,Q$ の位置ベクトルが与えられているため、距離を直接求めるのではなく、まず $\overrightarrow{PQ}$ を作るのが基本である。

特に、

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} $$

を使うと、求める距離はベクトル $-3\vec a+\vec b$ の大きさに帰着する。

あとは、ベクトルの大きさを求める標準処理として、2乗して内積を使えばよい。角が与えられているので、最初に $\vec a\cdot\vec b$ を計算しておくことが重要である。

答え

$$ \boxed{3} $$