数学C 平面ベクトル 問題 52 解説

方針・初手

線分 $PQ$ を直径とする円の中心は、$PQ$ の中点 $M$ である。したがって、この円の半径は $MP$ であり、点 $R$ がこの円上にあることから $MR=MP$ が成り立つ。

また、$P,Q$ は中心 $O$、半径 $6$ の円上にあるので、$M$ は弦 $PQ$ の中点であり、$OM \perp PQ$ を用いると $MP^2$ を $OM$ で表せる。

解法1

ベクトルを用いて考える。$O$ を原点とし、

$$ \vec{OM}=\mathbf{m},\qquad \vec{OR}=\mathbf{r} $$

とおく。

点 $R$ は半径 $4$ の円 $C'$ 上にあるから、

$$ |\mathbf{r}|=OR=4 $$

である。

また、$M$ は弦 $PQ$ の中点であるから、$OM \perp PQ$ である。よって直角三角形 $OMP$ において、

$$ MP^2=OP^2-OM^2=36-|\mathbf{m}|^2 $$

となる。

一方、$R$ は $PQ$ を直径とする円上にある。この円の中心は $M$、半径は $MP$ であるから、

$$ MR^2=MP^2 $$

である。したがって、

$$ |\mathbf{r}-\mathbf{m}|^2=36-|\mathbf{m}|^2 $$

が成り立つ。左辺を展開すると、

$$ |\mathbf{r}|^2-2\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}+|\mathbf{m}|^2=36-|\mathbf{m}|^2 $$

である。$|\mathbf{r}|=4$ を代入して、

$$ 16-2\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}+|\mathbf{m}|^2=36-|\mathbf{m}|^2 $$

より、

$$ |\mathbf{m}|^2-\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}=10 $$

を得る。

次に、$N$ は $OR$ の中点であるから、

$$ \vec{ON}=\frac{1}{2}\mathbf{r} $$

である。求める長さは

$$ MN=\left|\mathbf{m}-\frac{1}{2}\mathbf{r}\right| $$

であるから、

$$ \begin{aligned} MN^2 &=\left|\mathbf{m}-\frac{1}{2}\mathbf{r}\right|^2 \\ &=|\mathbf{m}|^2-\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}+\frac{1}{4}|\mathbf{r}|^2 \\ &=10+\frac{1}{4}\cdot 16 \\ &=14 \end{aligned} $$

したがって、

$$ MN=\sqrt{14} $$

である。

解説

この問題の要点は、$PQ$ を直径とする円の中心が $M$ であることと、外側の円における弦の中点の性質を組み合わせることである。

$P,Q$ の具体的な位置を求めようとすると計算が複雑になるが、必要なのは $M$ と $R$ の関係だけである。$R$ が $PQ$ を直径とする円上にあることから $MR^2=MP^2$ とし、さらに $MP^2=36-OM^2$ と変形することで、内積 $\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}$ を含む関係式が得られる。

最後に、$N$ が $OR$ の中点であることを使うと、求める $MN^2$ がその関係式だけで決まる。

答え

$$ \sqrt{14} $$