数学C 平面ベクトル問題 55 解説

方針・初手

条件 $\vec a\cdot \overrightarrow{OP}=-\vec b\cdot \overrightarrow{OP}>0$ から、直線 $OP$ の方向を決定する。特に

$$ (\vec a+\vec b)\cdot \overrightarrow{OP}=0 $$

となるので、直線 $OP$ は $\vec a+\vec b$ に垂直である。一方、$\vec a,\vec b$ は単位ベクトルであるから $\vec a-\vec b$ も $\vec a+\vec b$ に垂直である。したがって、直線 $OP$ の方向を $\vec a-\vec b$ と見て、点 $Q$ の位置ベクトルを求めればよい。

解法1

$|\overrightarrow{OA}|=r,\ |\overrightarrow{OB}|=s$ とおく。ただし $r>0,\ s>0$ である。このとき

$$ \overrightarrow{OA}=r\vec a,\qquad \overrightarrow{OB}=s\vec b $$

である。

条件より

$$ \vec a\cdot \overrightarrow{OP}=-\vec b\cdot \overrightarrow{OP} $$

だから、

$$ (\vec a+\vec b)\cdot \overrightarrow{OP}=0 $$

である。したがって、直線 $OP$ は $\vec a+\vec b$ に垂直である。

また、$\vec a,\vec b$ は単位ベクトルなので

$$ (\vec a-\vec b)\cdot(\vec a+\vec b) =|\vec a|^2-|\vec b|^2 =1-1 =0 $$

である。よって、$\vec a-\vec b$ も $\vec a+\vec b$ に垂直である。

平面上で直線 $OP$ は $\vec a+\vec b$ に垂直であり、さらに条件 $\vec a\cdot \overrightarrow{OP}>0$ により向きも $\vec a-\vec b$ と一致する。したがって、直線 $OP$ は $\vec a-\vec b$ に平行である。

次に、$Q$ は点 $A$ から直線 $OP$ に下ろした垂線の足であるから、$\overrightarrow{OQ}$ は $\overrightarrow{OA}=r\vec a$ の、方向ベクトル $\vec a-\vec b$ への正射影である。よって

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{r\vec a\cdot(\vec a-\vec b)}{|\vec a-\vec b|^2}(\vec a-\vec b) $$

である。

ここで

$$ \vec a\cdot(\vec a-\vec b)=1-\vec a\cdot\vec b $$

かつ

であるから、

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{r}{2}(\vec a-\vec b) $$

となる。

一方、$M$ は辺 $AB$ の中点であるから

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OM} &= \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}\\ &= \frac{r\vec a+s\vec b}{2} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MQ} &=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OM} \\ &=\frac{r}{2}(\vec a-\vec b)-\frac{r\vec a+s\vec b}{2} \\ &=\frac{r\vec a-r\vec b-r\vec a-s\vec b}{2} \\ &=-\frac{r+s}{2}\vec b \end{aligned} $$

となる。

よって、$\overrightarrow{MQ}$ は $\vec b$ の実数倍であるから、

$$ \overrightarrow{MQ}\parallel \vec b $$

である。これで (1) が示された。

さらに、$|\vec b|=1$ より

$$ |\overrightarrow{MQ}| = \left|-\frac{r+s}{2}\vec b\right| \frac{r+s}{2}|\vec b| \frac{r+s}{2} $$

である。$r=|\overrightarrow{OA}|,\ s=|\overrightarrow{OB}|$ だったから、

$$ |\overrightarrow{MQ}| = \frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OB}|\right) $$

となる。これで (2) も示された。

解説

この問題の核心は、条件

$$ \vec a\cdot \overrightarrow{OP}=-\vec b\cdot \overrightarrow{OP} $$

を内積の形のまま眺めず、

$$ (\vec a+\vec b)\cdot \overrightarrow{OP}=0 $$

と変形して、直線 $OP$ の方向を決める点にある。

$\vec a,\vec b$ が単位ベクトルであることから、$\vec a-\vec b$ と $\vec a+\vec b$ が垂直になる。したがって、直線 $OP$ は $\vec a-\vec b$ 方向であり、点 $Q$ は $\overrightarrow{OA}$ をその方向に正射影した点として計算できる。

その結果

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{|\overrightarrow{OA}|}{2}(\vec a-\vec b) $$

が得られ、中点 $M$ の位置ベクトルと引き算するだけで

$$ \overrightarrow{MQ} = -\frac{|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OB}|}{2}\vec b $$

となる。ここまで出れば、平行性も長さも同時に従う。