数学C 平面ベクトル問題 61 解説

方針・初手

点 $P$ は直線 $AQ$ 上にも直線 $BR$ 上にもある。したがって、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の一次結合で表し、2通りの表し方を比較する。

まず、内分比から $\overrightarrow{OQ}$ と $\overrightarrow{OR}$ を求める。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$、$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。

点 $Q$ は辺 $OB$ を $3:2$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{3}{5}\mathbf{b} $$

である。

また、点 $R$ は辺 $OA$ を $4:3$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{OR}=\frac{4}{7}\mathbf{a} $$

である。

点 $P$ は直線 $AQ$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OP}=(1-s)\mathbf{a}+s\cdot \frac{3}{5}\mathbf{b} $$

と表せる。

したがって、$\overrightarrow{OP}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}$ とおくと、

$$ x=1-s,\qquad y=\frac{3}{5}s $$

である。よって

$$ s=\frac{5}{3}y $$

より、

$$ x=1-\frac{5}{3}y $$

を得る。

一方、点 $P$ は直線 $BR$ 上にもあるので、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OP}=t\cdot \frac{4}{7}\mathbf{a}+(1-t)\mathbf{b} $$

と表せる。

したがって、

$$ x=\frac{4}{7}t,\qquad y=1-t $$

である。よって

$$ t=1-y $$

より、

$$ x=\frac{4}{7}(1-y) $$

を得る。

以上より、

$$ 1-\frac{5}{3}y=\frac{4}{7}(1-y) $$

を解けばよい。両辺に $21$ をかけると、

$$ 21-35y=12-12y $$

したがって、

$$ 9=23y $$

より、

$$ y=\frac{9}{23} $$

である。

これを

$$ x=\frac{4}{7}(1-y) $$

に代入すると、

$$ x=\frac{4}{7}\left(1-\frac{9}{23}\right) =\frac{4}{7}\cdot \frac{14}{23} =\frac{8}{23} $$

となる。

よって、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{8}{23}\overrightarrow{OA} + \frac{9}{23}\overrightarrow{OB} $$

である。

解説

この問題では、点 $P$ が2本の直線 $AQ$、$BR$ の交点であることを利用する。

内分点 $Q,R$ の位置ベクトルを先に求め、直線上の点を媒介変数で表すと、$\overrightarrow{OP}$ の係数比較だけで処理できる。

注意すべき点は、$Q$ は $OB$ を $3:2$ に内分するので $\overrightarrow{OQ}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}$、$R$ は $OA$ を $4:3$ に内分するので $\overrightarrow{OR}=\frac{4}{7}\overrightarrow{OA}$ となることである。比の向きを逆にすると係数が変わる。