数学C 平面ベクトル 問題 60 解説

方針・初手

平行四辺形 $OABC$ では、対角線 $OB$ の位置ベクトルは

$$ \vec{OB}=\vec{OA}+\vec{OC} $$

と表せる。したがって、各点がどの線分をどの比に内分しているかを位置ベクトルで表し、その後、$\vec{DE}$ と $\vec{DF}$ が平行であることを示せばよい。

解法1

$\vec{OA}=\vec{a},\ \vec{OC}=\vec{c}$ とおく。

平行四辺形 $OABC$ より、点 $B$ は $\vec{a}+\vec{c}$ の位置にあるので、

$$ \vec{OB}=\vec{OA}+\vec{OC}=\vec{a}+\vec{c} $$

である。

まず、点 $D$ は辺 $OA$ を $2:1$ に内分するから、

$$ \vec{OD}=\frac{2}{3}\vec{OA} $$

である。

次に、点 $F$ は辺 $OC$ の中点であるから、

$$ \vec{OF}=\frac{1}{2}\vec{OC} $$

である。

また、点 $E$ は対角線 $OB$ を $2:5$ に内分するので、

$$ \vec{OE}=\frac{2}{7}\vec{OB} $$

である。ここで $\vec{OB}=\vec{OA}+\vec{OC}$ だから、

$$ \begin{aligned} \vec{OE} &= \frac{2}{7}(\vec{OA}+\vec{OC})\\ &= \frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{2}{7}\vec{OC} \end{aligned} $$

となる。

よって、(1) の答えは

$$ \vec{OD}=\frac{2}{3}\vec{OA},\qquad \vec{OF}=\frac{1}{2}\vec{OC},\qquad \vec{OE}=\frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{2}{7}\vec{OC} $$

である。

次に、3点 $D,E,F$ が一直線上にあることを示す。

位置ベクトルを用いて、

$$ \vec{DE}=\vec{OE}-\vec{OD} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \vec{DE} &= \left(\frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{2}{7}\vec{OC}\right) -\frac{2}{3}\vec{OA} \\ &= \left(\frac{2}{7}-\frac{2}{3}\right)\vec{OA} +\frac{2}{7}\vec{OC} \\ &= -\frac{8}{21}\vec{OA}+\frac{2}{7}\vec{OC} \\ &= \frac{2}{21}(-4\vec{OA}+3\vec{OC}) \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \vec{DF}=\vec{OF}-\vec{OD} $$

より、

$$ \begin{aligned} \vec{DF} &= \frac{1}{2}\vec{OC}-\frac{2}{3}\vec{OA} \\ &= -\frac{2}{3}\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{OC} \\ &= \frac{1}{6}(-4\vec{OA}+3\vec{OC}) \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \vec{DE} &= \frac{2}{21}(-4\vec{OA}+3\vec{OC})\\ &= \frac{4}{7}\cdot \frac{1}{6}(-4\vec{OA}+3\vec{OC})\\ &= \frac{4}{7}\vec{DF} \end{aligned} $$

が成り立つ。

よって、$\vec{DE}$ は $\vec{DF}$ の実数倍であるから、直線 $DE$ と直線 $DF$ は同一直線である。

したがって、3点 $D,E,F$ は一直線上にある。

解説

この問題では、平行四辺形の対角線の位置ベクトルを

$$ \vec{OB}=\vec{OA}+\vec{OC} $$

と表すことが最初の要点である。

そのうえで、内分点の公式を用いて $\vec{OD},\vec{OE},\vec{OF}$ を表す。3点が一直線上にあることは、$\vec{DE}$ と $\vec{DF}$ が平行であること、つまり一方が他方の実数倍であることを示せばよい。

ここでは

$$ \vec{DE}=\frac{4}{7}\vec{DF} $$

が得られるので、点 $E$ は線分 $DF$ 上にあり、3点 $D,E,F$ は一直線上に並ぶ。

答え

(1)

$$ \vec{OD}=\frac{2}{3}\vec{OA} $$

$$ \vec{OF}=\frac{1}{2}\vec{OC} $$

$$ \vec{OE}=\frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{2}{7}\vec{OC} $$

(2)

$$ \vec{DE}=\frac{4}{7}\vec{DF} $$

であるから、$\vec{DE}$ と $\vec{DF}$ は平行である。したがって、3点 $D,E,F$ は一直線上にある。