数学C 平面ベクトル 問題 63 解説

方針・初手

角の二等分線が三角形の辺 $AB$ と交わるので、三角形 $OAB$ における角の二等分線定理を使うのが最短である。

まず $OA, OB$ の長さを求め、$AC:CB=OA:OB$ から、点 $C$ が線分 $AB$ をどの比に内分するかを決める。

解法1

点 $O(0,0), A(4,3), B(1,2\sqrt{2})$ より、

$$ OA=\sqrt{4^2+3^2}=5 $$

また、

$$ OB=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+8}=3 $$

角の二等分線定理より、$\angle AOB$ の二等分線が辺 $AB$ と交わる点を $C$ とすると、

$$ AC:CB=OA:OB=5:3 $$

である。

したがって、点 $C$ は線分 $AB$ を $5:3$ に内分する点である。内分点の公式より、$AC:CB=5:3$ のとき、

$$ C=\frac{3A+5B}{5+3} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} C &=\frac{3(4,3)+5(1,2\sqrt{2})}{8} \\ &=\frac{(12,9)+(5,10\sqrt{2})}{8} \\ &=\left(\frac{17}{8},\frac{9+10\sqrt{2}}{8}\right) \end{aligned} $$

よって、

$$ C\left(\frac{17}{8},\frac{9+10\sqrt{2}}{8}\right) $$

である。

解法2

角の二等分線の方向ベクトルを直接求めてもよい。

$\overrightarrow{OA}=(4,3)$ $\overrightarrow{OB}=(1,2\sqrt{2})$ であり、

$$ |\overrightarrow{OA}|=5,\qquad |\overrightarrow{OB}|=3 $$

である。したがって、それぞれの単位ベクトルは

$$ \frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|} = \left(\frac45,\frac35\right), \qquad \frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|} = \left(\frac13,\frac{2\sqrt2}{3}\right) $$

である。

内角の二等分線の方向ベクトルは、これらの単位ベクトルの和で表せるので、

$$ \begin{aligned} \vec{v} &= \left(\frac45,\frac35\right) + \left(\frac13,\frac{2\sqrt2}{3}\right) \\ &= \left(\frac{17}{15},\frac{9+10\sqrt2}{15}\right) \end{aligned} $$

よって、角の二等分線上の点は実数 $t$ を用いて

$$ (x,y)=t\left(\frac{17}{15},\frac{9+10\sqrt2}{15}\right) $$

と表せる。

一方、点 $C$ は線分 $AB$ 上にもある。解法1で得た候補

$$ \left(\frac{17}{8},\frac{9+10\sqrt2}{8}\right) $$

は、

$$ t=\frac{15}{8} $$

とすれば

$$ \frac{15}{8}\left(\frac{17}{15},\frac{9+10\sqrt2}{15}\right) = \left(\frac{17}{8},\frac{9+10\sqrt2}{8}\right) $$

となり、角の二等分線上にある。

またこの点は $A,B$ を $5:3$ に内分する点でもあるため、求める点 $C$ である。

解説

この問題は、座標計算だけで押し切るよりも、三角形 $OAB$ に対する角の二等分線定理を使う方が自然である。

注意すべき点は、$AC:CB=OA:OB$ であり、$OA:OB=5:3$ だからといって、内分点の公式で係数をそのまま $5A+3B$ にしないことである。$AC:CB=5:3$ のとき、点 $C$ は $A$ から $B$ へ向かって $5/8$ 進んだ点なので、

$$ C=\frac{3A+5B}{8} $$

となる。

答え

$$ C\left(\frac{17}{8},\frac{9+10\sqrt2}{8}\right) $$