数学C 平面ベクトル 問題 64 解説

方針・初手

与えられた $|\vec{a}-2\vec{b}|$ を2乗し、内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を含む形に展開する。

面積は、2つのベクトルがつくる三角形の面積公式

$$ \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} $$

を用いる。

解法1

まず、

$$ |\vec{a}-2\vec{b}|^2=(\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b}) $$

であるから、展開すると

$$ |\vec{a}-2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2 $$

となる。

条件より $|\vec{a}|=3,\ |\vec{b}|=2,\ |\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{7}$ であるから、

$$ 7=3^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4\cdot 2^2 $$

すなわち

$$ 7=9-4\vec{a}\cdot\vec{b}+16 $$

である。したがって、

$$ 4\vec{a}\cdot\vec{b}=18 $$

より、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{9}{2} $$

である。

次に、$\triangle OAB$ の面積を求める。$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\ \overrightarrow{OB}=\vec{b}$ なので、面積は

$$ \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} $$

である。

これに値を代入すると、

$$ \begin{aligned} \triangle OAB &= \frac{1}{2}\sqrt{3^2\cdot 2^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{36-\frac{81}{4}} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{63}{4}} \\ &= \frac{3\sqrt{7}}{4} \end{aligned} $$

となる。

解説

$|\vec{a}-2\vec{b}|$ の条件は、そのまま長さとして扱うのではなく、2乗して内積の式に直すのが基本である。

また、面積は

$$ \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta $$

でも求められるが、今回は $\vec{a}\cdot\vec{b}$ が先に求まるので、

$$ |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2 $$

を使う公式が最も直接的である。

答え

(1)

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{9}{2} $$

(2)

$$ \triangle OAB=\frac{3\sqrt{7}}{4} $$