数学C 平面ベクトル 問題 65 解説

方針・初手

ベクトルが垂直である条件は、内積が $0$ になることである。したがって、$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ を立てて $t$ を求める。

解法1

$\vec{a}=(2,1)$、$\vec{b}=(t+2,-3t)$ であるから、内積は

$$ \vec{a}\cdot\vec{b} =2(t+2)+1\cdot(-3t) $$

となる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるためには、内積が $0$ であればよいので、

$$ 2(t+2)-3t=0 $$

これを整理すると、

$$ 2t+4-3t=0 $$

$$ -t+4=0 $$

よって、

$$ t=4 $$

である。

解説

2つのベクトル $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ が垂直である条件は

$$ x_1x_2+y_1y_2=0 $$

である。この問題では、$t$ を含むベクトル $\vec{b}$ との内積を計算し、それが $0$ になるように $t$ を決めればよい。

答え

$$ t=4 $$