数学C 平面ベクトル 問題 73 解説

方針・初手

角が等しいことは、余弦が等しいことに置き換える。$\vec a=(1,0)$ なので、$\vec a$ と $\vec c=(x,y)$ のなす角の余弦はそのまま $x$ になる。さらに、$\vec a$ と $\vec c$ のなす角が鈍角であることから $x<0$ を最後に用いる。

解法1

$\vec c=(x,y)$ とおく。$|\vec c|=1$ より、

$$ x^2+y^2=1 $$

である。

まず、$\vec a=(1,0)$ であるから、$\vec a$ と $\vec c$ のなす角を $\theta$ とすると、

$$ \cos\theta=\frac{\vec a\cdot \vec c}{|\vec a||\vec c|} =\frac{x}{1\cdot 1} =x $$

である。

また、$\vec b=(-1,\sqrt{8})$ であり、

$$ |\vec b|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{8})^2}=3 $$

である。$\vec b$ と $\vec c$ のなす角も $\theta$ に等しいので、

$$ \cos\theta = \frac{\vec b\cdot \vec c}{|\vec b||\vec c|} =\frac{-x+\sqrt{8}y}{3} $$

である。

したがって、

$$ x=\frac{-x+\sqrt{8}y}{3} $$

となる。これを整理すると、

$$ 3x=-x+\sqrt{8}y $$

より、

$$ 4x=\sqrt{8}y $$

である。$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ だから、

$$ y=\sqrt{2}x $$

を得る。

これを $x^2+y^2=1$ に代入すると、

$$ x^2+(\sqrt{2}x)^2=1 $$

より、

$$ 3x^2=1 $$

である。したがって、

$$ x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} $$

となる。

ここで、$\vec c$ は $\vec a$ と鈍角をなすので、

$$ \cos\theta=x<0 $$

でなければならない。よって、

$$ x=-\frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。このとき、

$$ y=\sqrt{2}x=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $$

となる。

したがって、

$$ \vec c=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) $$

である。

解説

この問題では、角そのものを直接扱うのではなく、内積を用いて余弦に直すのが基本である。特に $\vec a=(1,0)$ なので、$\vec a$ と $\vec c=(x,y)$ のなす角の余弦が $x$ になる点が初手として重要である。

最後に $x=\pm 1/\sqrt{3}$ の符号が残るが、$\vec a$ と $\vec c$ のなす角が鈍角であることから $\cos\theta<0$、すなわち $x<0$ と判断する。ここを落とすと、鋭角をなす方のベクトルまで答えに含めてしまう。

答え

$$ \vec c=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) $$

すなわち、

$$ \vec c=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) $$