数学C 平面ベクトル 問題 72 解説

方針・初手

点 $A,B,C$ は半径 $1$ の円周上にあるので、

$$ |\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1 $$

である。求める $AB$ は

$$ AB=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}| $$

であるから、まず $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ を求めればよい。

解法1

簡単のため、

$$ \vec{a}=\overrightarrow{OA},\quad \vec{b}=\overrightarrow{OB},\quad \vec{c}=\overrightarrow{OC} $$

とおく。このとき

$$ |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1 $$

であり、条件は

$$ 3\vec{a}+7\vec{b}+5\vec{c}=\vec{0} $$

である。

この式を

$$ 3\vec{a}+7\vec{b}=-5\vec{c} $$

と変形する。両辺の長さの2乗をとると、

$$ |3\vec{a}+7\vec{b}|^2=|-5\vec{c}|^2 $$

である。右辺は $|\vec{c}|=1$ より

$$ |-5\vec{c}|^2=25 $$

となる。

左辺を内積で展開すると、

$$ \begin{aligned} |3\vec{a}+7\vec{b}|^2 &=(3\vec{a}+7\vec{b})\cdot(3\vec{a}+7\vec{b})\\ &=9|\vec{a}|^2+42\vec{a}\cdot\vec{b}+49|\vec{b}|^2\\ &=9+42\vec{a}\cdot\vec{b}+49\\ &=58+42\vec{a}\cdot\vec{b} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ 58+42\vec{a}\cdot\vec{b}=25 $$

より、

$$ 42\vec{a}\cdot\vec{b}=-33 $$

だから

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{11}{14} $$

である。

次に、線分 $AB$ の長さを求める。

$$ AB=|\overrightarrow{AB}|=|\vec{b}-\vec{a}| $$

であるから、

$$ \begin{aligned} AB^2 &=|\vec{b}-\vec{a}|^2\\ &=|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{a}|^2\\ &=1-2\left(-\frac{11}{14}\right)+1\\ &=2+\frac{11}{7}\\ &=\frac{25}{7} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ AB=\sqrt{\frac{25}{7}}=\frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7} $$

である。

解説

条件式に $C$ が含まれているが、求めるのは $AB$ である。そこで $5\overrightarrow{OC}$ を片側に移し、両辺の長さの2乗を比較することで、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の内積を取り出すのが自然である。

円の半径が $1$ であるため、各位置ベクトルの長さがすべて $1$ になる。この情報によって、内積の展開が大きく簡単になる。

答え

$$ AB=\frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7} $$